F分布

2つの独立な変数 \(Y,Z\) があり、 \(Y,Z\) はぞれぞれ自由度 \(m,n\) のカイ二乗分布に従うとします。
このとき \(\displaystyle X=\frac{\frac{Y}{m}}{\frac{Z}{n}}\) とすると、
\(X\) は次の確率分布に従います。
$$f_{m,n}(x)=\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}  ( x \gt 0)$$
この確率分布を自由度 \((m,n)\) の \(F\) 分布を呼びます。



\(F\) 分布の期待値及び分散は$$E[X]=\frac{n}{n-2}  (n \gt 2),  V[X]=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} (n \gt 4)$$


また \(F\) 分布の性質として
\(\displaystyle α=\displaystyle\int_{W_{m,n}(α)}^{\infty}f_{m,n}(x)dx\) となる \(W_{m,n}(α)\) を上側確率 \(100α\) [%]点と呼び、次の式が成り立ちます。\((0 \lt α \lt 1)\)$$W_{m,n}(α)=\frac{1}{W_{n,m}(1-α)}$$






<導出>
\(Y,Z\) はぞれぞれ自由度 \(m,n\) のカイ二乗分布に従うので\begin{alignat}{2}
&f_Y(y)=\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)}y^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}  (y \gt 0)\\
&f_Z(z)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ\left(\frac{n}{2}\right)}z^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{z}{2}}  (z \gt 0)
\end{alignat}と書けます。ここで次のような変数変換を行います。$$(Y,Z) \to (X,U)  (U=mZ)$$すなわち \(f_{YZ}(y,z)\) から \(f_{XU}(x,u)\) に切り替え \(u\) で積分することで \(f_{m,n}(x)\) を求めます。

変数変換の前後も全確率は等しいので$$\displaystyle\iint_{D_1}f_{XU}(x,u)dxdu=\displaystyle\iint_{D_2}f_{YZ}(y,z)dydz$$また \(Y,Z\) は独立なので$$\displaystyle\iint_{D_2}f_{YZ}(y,z)dydz=\displaystyle\iint_{D_2}f_Y(y)f_Z(z)dydz$$
\(\displaystyle x=\frac{\frac{y}{m}}{\frac{z}{n}}=\frac{ny}{mz}, u=mz\) と変数変換すると \(\displaystyle y=\frac{mzx}{n}=\frac{u}{n}x, z=\frac{u}{m}\) となります。

このときヤコビアンは\begin{eqnarray}|J|=\frac{\partial(y,z)}{\partial(x,u)}=
\begin{vmatrix}
\frac{u}{n} & \frac{x}{n}\\
0 & \frac{1}{m}\\
\end{vmatrix}=\sqrt{\frac{u}{mn}}
\end{eqnarray}となるので$$\displaystyle\iint_{D_1}f_{XU}(x,u)dxdu=\displaystyle\iint_{D_1}f_Y\left(\frac{u}{n}x\right)f_Z\left(\frac{u}{m}\right)\frac{u}{mn}dxdu$$よって$$f_{XU}(x,u)=f_Y\left(\frac{u}{n}x\right)f_Z\left(\frac{u}{m}\right)\frac{u}{mn}$$となりますから
\begin{alignat}{2}
&f_{XU}(x,u)=\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)}\left(\frac{u}{n}x\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{ux}{2n}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{u}{m}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{u}{2m}}\cdot \frac{u}{mn}\\
&        =\frac{1}{mn \cdot 2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{m}{2}-1}\left(\frac{1}{m}\right)^{\frac{n}{2}-1}x^{\frac{m}{2}-1}u^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{1}{m}\right)u}\\
&        =\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right) n^{\frac{m}{2}} m^{\frac{n}{2}}}x^{\frac{m}{2}-1}u^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{1}{m}\right)u}\\
\end{alignat}この式を \(u\) で積分します。\( \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{1}{m}\right)u=t\) と置きます。このとき$$u=\frac{t}{\frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{1}{m}\right)}=\frac{2mn}{mx+n}t,  du=\frac{2mn}{mx+n}dt$$となるので
\begin{alignat}{2}
&f_{m,n}(x)=\displaystyle\int_0^{\infty} f_{XU}(x,u)du\\
&      =\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right) n^{\frac{m}{2}} m^{\frac{n}{2}}} \displaystyle\int_0^{\infty} u^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{n}+\frac{1}{m}\right)u}du\\
&      =\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right) n^{\frac{m}{2}} m^{\frac{n}{2}}} \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{2mn}{mx+n}t\right)^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-t} \cdot \frac{2mn}{mx+n}dt\\
&      =\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right) n^{\frac{m}{2}} m^{\frac{n}{2}}} \cdot \left(\frac{2mn}{mx+n}\right)^{\frac{m+n}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-t}dt\\
&      =\frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right) n^{\frac{m}{2}} m^{\frac{n}{2}}} \cdot \frac{2^{\frac{m+n}{2}}m^{\frac{m+n}{2}}n^{\frac{m+n}{2}}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}} Γ\left({\frac{m+n}{2}}\right)\\
&      =\frac{m^{\frac{m}{2}}n^{\frac{n}{2}}}{Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right)}Γ\left({\frac{m+n}{2}}\right)\cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}\\
&       =\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}
\end{alignat}以上より$$f_{m,n}(x)=\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}  ( x \gt 0)$$








\((1)\) 全確率1を確認します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty}f_{m,n}(x)dx=\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}dx\\
&            =\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot n^{-\frac{m+n}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{\frac{m}{2}-1}\left(\frac{m}{n}x+1\right)^{-\frac{m+n}{2}}dx\\
&            =\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{\frac{m}{2}-1}\left(\frac{m}{n}x+1\right)^{-\frac{m+n}{2}}dx\\
\end{alignat}\(\displaystyle \left(\frac{m}{n}x+1\right)^{-1}=y\) と置きます。このとき$$\frac{m}{n}x+1=y^{-1},  x=\frac{n}{m}(y^{-1}-1),  dx=-\frac{n}{m}y^{-2}dy$$ となるので
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}}\displaystyle\int_1^0 \left\{\frac{n}{m}(y^{-1}-1)\right\}^{\frac{m}{2}-1}y^{\frac{m+n}{2}}\left(-\frac{n}{m}\right)y^{-2}dy\\
&=\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}}\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{m}{2}}\left(\frac{1-y}{y}\right)^{\frac{m}{2}-1}y^{\frac{m+n}{2}-2}dy\\
&=\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\displaystyle\int_0^1 y^{\frac{n}{2}-1}(1-y)^{\frac{m}{2}-1}dy\\
&=\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)}\cdot B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)=1
\end{alignat}







\((2)\) 期待値を求めます。\((1)\) と同様に置きます。
\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_0^{\infty}x \cdot f_{m,n}(x)dx=\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^{\infty} x \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}dx\\
&    =\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} x \cdot x^{\frac{m}{2}-1}\left(\frac{m}{n}x+1\right)^{-\frac{m+n}{2}}dx\\
&    =\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^1 \frac{n}{m} \cdot \frac{1-y}{y} \cdot y^{\frac{n}{2}-1}(1-y)^{\frac{m}{2}-1}dy\\
&    =\frac{n}{m} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^1 y^{\left(\frac{n}{2}-1\right)-1}(1-y)^{\left(\frac{m}{2}+1\right)-1}dy\\
&    =\frac{n}{m} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{m}{2}+1\right)\\
&    =\frac{n}{m} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \frac{Γ\left(\frac{n}{2}-1\right)Γ\left(\frac{m}{2}+1\right)}{Γ\left(\frac{n+m}{2}\right)}\\
&    =\frac{n}{m} \cdot \frac{Γ\left(\frac{m+n}{2}\right)}{Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \frac{Γ\left(\frac{n}{2}\right)\cdot \frac{m}{2}Γ\left(\frac{m}{2}\right)}{\left(\frac{n}{2}-1\right)Γ\left(\frac{n+m}{2}\right)}\\
&    =\frac{n}{m}\cdot \frac{\frac{m}{2}}{\frac{n}{2}-1}=\frac{n}{n-2}
\end{alignat}







\((2)\) 分散を求める前に \(E[X^2]\) を求めます。\((1)\) と同様に置きます。
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=\displaystyle\int_0^{\infty}x^2 \cdot f_{m,n}(x)dx=\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^{\infty} x^2 \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^{\frac{m+n}{2}}}dx\\
&     =\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{m}{2}} \displaystyle\int_0^{\infty} x^2 \cdot x^{\frac{m}{2}-1}\left(\frac{m}{n}x+1\right)^{-\frac{m+n}{2}}dx\\
&     =\frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{n}{m}\right)^2 \cdot \left(\frac{1-y}{y}\right)^2 \cdot y^{\frac{n}{2}-1}(1-y)^{\frac{m}{2}-1}dy\\
&     =\frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \displaystyle\int_0^1 y^{\left(\frac{n}{2}-2\right)-1}(1-y)^{\left(\frac{m}{2}+2\right)-1}dy\\
&     =\frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} B\left(\frac{n}{2}-2,\frac{m}{2}+2\right)\\
&     =\frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{1}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \frac{Γ\left(\frac{n}{2}-2\right)Γ\left(\frac{m}{2}+2\right)}{Γ\left(\frac{n+m}{2}\right)}\\
&     =\frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{m+n}{2}\right)}{Γ\left(\frac{m}{2}\right)Γ\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot \frac{Γ\left(\frac{n}{2}\right)\cdot \left(\frac{m}{2}+1\right)\frac{m}{2}Γ\left(\frac{m}{2}\right)}{\left(\frac{n}{2}-1\right)\left(\frac{n}{2}-2\right)Γ\left(\frac{n+m}{2}\right)}\\
&     =\frac{n^2}{m^2}\cdot \frac{(m+2)m}{(n-2)(n-4)}=\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}
\end{alignat}よって分散は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2=\frac{n^2(m+2)}{m(n-2)(n-4)}-\frac{n^2}{(n-2)^2}\\
&    =\frac{n^2(m+2)(n-2)-mn^2(n-4)}{m(n-2)^2(n-4)}\\
&    =\frac{n^2(mn+2n-2m-4)-mn^3+4mn^2}{m(n-2)^2(n-4)}\\
&    =\frac{mn^3+2n^3-2mn^2-4n^2-mn^3+4mn^2}{m(n-2)^2(n-4)}\\
&    =\frac{2n^3+2mn^2-4n^2}{m(n-2)^2(n-4)}\\
&    =\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}
\end{alignat}







\((3)\) 自由度 \((n,m)\) の \(F\) 分布において上側確率 \(100(1-α)\) [%]点は次式で表されます。$$1-α=\displaystyle\int_{W_{n,m}(1-α)}^{\infty}f_{n,m}(x)dx \cdots(A)$$

一方、自由度 \((m,n)\) の \(F\) 分布における上側確率 \(100(α)\) [%]点は$$α=\displaystyle\int_{W_{m,n}(α)}^{\infty}f_{m,n}(x)dx  (0 \lt α \lt 1)$$であるので、この式について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置くと \(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right) \)$$α=\displaystyle\int_{\frac{1}{W_{m,n}(α)}}^0 f_{m,n}\left(\frac{1}{t}\right)\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{W_{m,n}(α)}} \frac{1}{t^2}\cdot f_{m,n}\left(\frac{1}{t}\right)dt$$
被積分関数の計算をします。
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{t^2}\cdot f_{m,n}\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{1}{t^2} \cdot \frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)} \cdot \frac{\left(\frac{1}{t}\right)^{\frac{m}{2}-1}}{\left(m\cdot \frac{1}{t}+n\right)^{\frac{m+n}{2}}}\\
&            =\frac{1}{t^2} \cdot \frac{n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)} \cdot \frac{t^{-\left(\frac{m}{2}-1\right)}}{\left\{\frac{1}{t}(nt+m)\right\}^{\frac{m+n}{2}}}\\
&            =\frac{1}{t^2} \cdot \frac{n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)} \cdot \frac{t^{-\frac{m}{2}+1}}{(nt+m)^{\frac{n+m}{2}}t^{-\frac{n+m}{2}}}\\
&            =\frac{1}{t^2} \cdot \frac{n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)} \cdot \frac{t^{\frac{n}{2}+1}}{(nt+m)^{\frac{n+m}{2}}}\\
&            =\frac{n^{\frac{n}{2}}m^{\frac{m}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)} \cdot \frac{t^{\frac{n}{2}-1}}{(nt+m)^{\frac{n+m}{2}}}=f_{n,m}(t)\\
\end{alignat}よって$$α=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{W_{m,n}(α)}} f_{n,m}(t)dt=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{W_{m,n}(α)}} f_{n,m}(x)dx$$ここで全確率$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{W_{m,n}(α)}} f_{n,m}(x)dx+\displaystyle\int_{\frac{1}{W_{m,n}(α)}}^{\infty} f_{n,m}(x)dx=1$$が成り立つので \(α\) を代入すると$$1-α=\displaystyle\int_{\frac{1}{W_{m,n}(α)}}^{\infty} f_{n,m}(x)dx$$となります。以上より、この式と \((A)\) の式を比較することで次式を得ます。$$\frac{1}{W_{m,n}(α)}=W_{n,m}(1-α)$$すなわち$$W_{m,n}(α)=\frac{1}{W_{n,m}(1-α)}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です