フィボナッチ数とリュカ数の関係式

フィボナッチ数を \(F_n\)、リュカ数を \(L_n\) で表すとき、次式が成り立ちます。(\(φ\) は黄金比)
\begin{alignat}{2}
&(1)  F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}\\
&(2)  L_n=F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}\\
&(3)  L_{m+n}=L_{m+1}F_n+L_mF_{n-1}\\
&(4)  L_{n}^2=5F_n^2+4(-1)^n\\
&(5)  F_{2n}=L_nF_n\\
&(6)  L_{2n}=5F_n^2+2(-1)^n=L_n^2-2(-1)^n\\
&(7)  F_{n+k}+(-1)^kF_{n-k}=L_kF_n\\
&(8)  L_{n+k}-(-1)^kL_{n-k}=5F_nF_k\\
&(9)  φ^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}\\
\end{alignat}  











<証明>

\(\displaystyle α=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\,β=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) とすると

フィボナッチ数 \(F_n\) とリュカ数 \(L_n\) は
\begin{alignat}{2}
&F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)\\
&L_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n=β^n+α^n\\
\end{alignat}また \(α,β\) の関係式について
\begin{alignat}{2}
&(A)  \frac{1}{β}=\frac{1}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-\frac{1-\sqrt{5}}{2}=α\\
&(B)  αβ=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1-5}{4}=-1\\
&(C)  β-α=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}
\end{alignat}これらを用いて計算を進めます。(ただし \(β=φ\) です。)




\begin{alignat}{2}
(1)  L_{n-1}+L_{n+1}&=(β^{n-1}+α^{n-1})+(β^{n+1}+α^{n+1})\\
&=\frac{1}{β}\cdot β^n+\frac{1}{α}\cdot α^n+β^{n+1}+α^{n+1}\\
&=-αβ^n-α^nβ+β^{n+1}+α^{n+1}\\
&=β^n(β-α)-α^n(β-α)=(β-α)(β^n-α^n)\\
&=\sqrt{5}(β^n-α^n)=5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)=5F_n
\end{alignat}以上より$$F_n=\frac{L_{n-1}+L_{n+1}}{5}$$






\begin{alignat}{2}
(2)  F_{n-1}+F_{n+1}&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n-1}-α^{n-1})+\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n+1}-α^{n+1})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n-1}-α^{n-1}+β^{n+1}-α^{n+1})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{β}\cdot β^{n}-\frac{1}{α}\cdot α^{n}+β^{n+1}-α^{n+1}\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(-αβ^{n}-α^{n}β+β^{n+1}-α^{n+1})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{β^n(β-α)+α^n(β-α)\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β-α)(β^n-α^n)=β^n+α^n=L_n\\
\end{alignat}以上より$$L_n=F_{n-1}+F_{n+1}$$さらに$$F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n-1}+(F_n+F_{n-1})=F_n+2F_{n-1}$$または$$F_{n-1}+F_{n+1}=(F_n+F_{n-2})+(F_{n+2}-F_n)=F_{n+2}+F_{n-2}$$







\begin{alignat}{2}
(3)  L_{m+1}F_n+L_mF_{n-1}&=(β^{m+1}+α^{m+1}) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)+(β^{m}+α^{m}) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n-1}-α^{n-1})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{(β^{m+1}+α^{m+1})(β^{n}-α^{n})+(β^{m}+α^{m})(β^{n-1}+α^{n-1})\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{m+n+1}-α^nβ^{m+1}+α^{m+1}β^n-α^{m+n+1}+β^{m+n-1}-α^{n-1}β^m+α^{m}β^{n-1}-α^{m+n-1})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(β^{m+n+1}-α^nβ^{m+1}+α^{m+1}β^n-α^{m+n+1}+\frac{1}{β}\cdot β^{m+n}-\frac{1}{α}\cdot α^{n}β^m+\frac{1}{β}\cdot α^{m}β^{n}-\frac{1}{α}\cdot α^{m+n}\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(β^{m+n+1}-α^nβ^{m+1}+α^{m+1}β^n-α^{m+n+1}-αβ^{m+n}+α^{n}β^{m+1}-α^{m+1}β^{n}+α^{m+n}β\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(β^{m+n+1}-α^{m+n+1}-αβ^{m+n}+α^{m+n}β\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{β^{m+n}(β-α)+α^{m+n}(β-α)\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β-α)(β^{m+n}+α^{m+n})=β^{m+n}+α^{m+n}=L_{m+n}
\end{alignat}以上より$$L_{m+n}=L_{m+1}F_n+L_mF_{n-1}$$







\((4)\) フィボナッチ数の式の両辺を \(\sqrt{5}\) 倍してから \(2\) 乗します。$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n),  \sqrt{5}F_n=β^n-α^n,  5F_n^2=(β^n-α^n)^2$$両辺に \(4(-1)^n\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
5F_n^2+4(-1)^n&=(β^n-α^n)^2+4(-1)^n\\
&=β^{2n}-2α^nβ^n+α^{2n}+4(αβ)^n\\
&=β^{2n}+2α^nβ^n+α^{2n}=(β^n+α^n)^2=L_n^2\\
\end{alignat}以上より$$L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$$







\begin{alignat}{2}
(5)  L_nF_n&=(β^n+α^n)\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^n+α^n)(β^n-α^n)=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{2n}-α^{2n})=F_{2n}\\
\end{alignat}以上より$$F_{2n}=L_nF_n$$







\((6)\) \((4)\) の式で用いた \(5F_n^2=(β^n-α^n)^2\) の両辺に \(2(-1)^n\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
5F_n^2+2(-1)^n&=(β^n-α^n)^2+2(-1)^n\\
&=β^{2n}-2α^nβ^n+α^{2n}+2(αβ)^n\\
&=β^{2n}+α^{2n}=L_{2n}\\
\end{alignat}また \((4)\) の式を代入することで$$L_{2n}=5F_n^2+2(-1)^n=\{5F_n^2+4(-1)^n\}-2(-1)^n=L_n^2-2(-1)^n$$以上より$$L_{2n}=5F_n^2+2(-1)^n=L_n^2-2(-1)^n$$







\begin{alignat}{2}
(7)  F_{n+k}+(-1)^kF_{n-k}&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n+k}-α^{n+k})+\frac{(-1)^k}{\sqrt{5}}(β^{n-k}-α^{n-k})\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{β^{n+k}-α^{n+k}-(-1)^kβ^{n-k}-(-1)^kα^{n-k}\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{β^{n+k}-α^{n+k}-(αβ)^kβ^{n-k}-(αβ)^kα^{n-k}\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^{n+k}-α^{n+k}+α^kβ^n-α^nβ^k)\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}\{β^n(β^k+α^k)-α^n(β^k+α^k)\}\\
&=\frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)(β^k+α^k)=(β^k+α^k)\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n)=L_kF_n\\
\end{alignat}以上より$$L_kF_n=F_{n+k}+(-1)^kF_{n-k}$$







\begin{alignat}{2}
(8)  L_{n+k}-(-1)^kL_{n-k}&=(β^{n+k})+α^{n+k})-(-1)^k(β^{n-k}+α^{n-k})\\
&=β^{n+k}+α^{n+k}-(-1)^kβ^{n-k}-(-1)^kα^{n-k}\\
&=β^{n+k}+α^{n+k}-(αβ)^kβ^{n-k}-(αβ)^kα^{n-k}\\
&=β^{n+k}+α^{n+k}-α^kβ^n-α^nβ^k\\
&=β^n(β^k-α^k)-α^n(β^k-α^k)\\
&=(β^n-α^n)(β^k-α^k)=5 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(β^k-α^k)=5F_nF_k
\end{alignat}以上より$$L_{n+k}-(-1)^kL_{n-k}=5F_nF_k$$







\begin{alignat}{2}
(9)  \frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}&=\frac{1}{2}\left\{(β^n+α^n)+\frac{1}{\sqrt{5}}(β^n-α^n) \cdot \sqrt{5}\right\}\\
&=\frac{1}{2}(β^n+α^n+β^n-α^n)=\frac{1}{2}\cdot 2β^n=β^n=φ^n\\
\end{alignat}以上より$$φ^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}$$

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