ガンベル分布

ガンベル分布の確率密度関数は次の式で表されます。
\begin{alignat}{2}
&f(x)=\frac{1}{η} \exp\left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\} \exp\left[- \exp\left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\}\right]\\
&                         (-\infty \leq x \leq \infty)
\end{alignat}期待値と分散は$$E[X]=μ+ηγ, V[X]=\frac{π^2η^2}{6}$$
モーメント母関数は$$M(θ)=e^{μθ}Γ(1-ηθ)  (ηθ \lt 1)$$累積分布関数は$$F(x)= \exp \left\{- \exp\left(-\frac{x-μ}{η}\right)\right\}$$






期待値と分散を求めるときに用いる次の公式を導出しておきます。$$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t} \log tdt=-γ,   \displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}( \log t)^2dt=ζ(2)+γ^2 $$

<導出>

\(Γ(z+1)\) を \(z\) で微分して \(z=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
&Γ(z+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^ze^{-t}dt\\
&Γ’(z+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}( \log t)t^ze^{-t}dt\\
&Γ’’(z+1)=\displaystyle\int_0^{\infty}( \log t)^2t^ze^{-t}dt\\
\end{alignat}となるので、求める積分値はそれぞれ
$$Γ’(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t} \log tdt,   Γ’’(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}( \log t)^2dt$$
ディガンマ関数より$$ψ(1)=\frac{Γ’(1)}{Γ(1)}=-γ,  Γ’(1)=-γ $$
またディガンマ関数を微分して \(z=1\) とすると
\begin{alignat}{2}
&ψ(z)=\frac{Γ’(z)}{Γ(z)}, ψ’(z)=\frac{Γ’’(z)Γ(z)-Γ’(z)Γ’(z)}{\{Γ(z)\}^2}\\
&ψ’(1)=\frac{Γ’’(1)Γ(1)-Γ’(1)Γ’(1)}{\{Γ(1)\}^2}=Γ’’(1)-γ^2\\
&Γ’’(1)=ψ’(1)+γ^2=ζ(2)+γ^2
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) 全確率が「\(1\)」であることを確認します。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{η} \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\} \exp \left[- \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\}\right]dx$$\(\displaystyle \frac{x-μ}{η}=t\) と置きます。\(\displaystyle\left( \frac{1}{η}dx=dt\right)\) $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t} \exp (-e^{-t})dt$$\(e^{-t}=r\) と置きます。\(\displaystyle \left(-e^{-t}dt=dr, dt=-\frac{1}{r}dr \right)\)$$=\displaystyle\int_{\infty}^0 re^{-r}\left(-\frac{1}{r}\right)dr=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-r}dr=\left[-e^{-r}\right]_0^{\infty}=1$$





\((2)\) 期待値を求めます。\((1)\) と同様に置き換えます。
  \(x-μ=ηt, x=ηt+μ\) また \(t=- \log r\) です。
\begin{alignat}{2}
E[X]&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot\frac{1}{η} \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\} \exp \left[- \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\}\right]dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (ηt+μ)e^{-t} \exp (-e^{-t})dt\\
&=η\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}te^{-t} \exp (-e^{-t})dt+μ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t} \exp (-e^{-t})dt
\end{alignat}右の積分は \((1)\) より「\(1\)」です。
\begin{alignat}{2}
&=η\displaystyle\int_{\infty}^0 re^{-r}(- \log r)\left(-\frac{1}{r}\right)dr+μ\\
&=-η\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-r} \log rdr+μ=γη+μ
\end{alignat}









\((3)\) 分散を求める前にまず \(E[X^2]\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
E[X^2]&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot\frac{1}{η} \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\} \exp \left[- \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\}\right]dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (ηt+μ)^2e^{-t} \exp (-e^{-t})dt\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (η^2t^2+2ημt+μ^2)e^{-t} \exp (-e^{-t})dt\\
&=η^2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} t^2e^{-t} \exp (-e^{-t})dt+2ημ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t} \exp (-e^{-t})dt+μ^2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t} \exp (-e^{-t})dt
\end{alignat}真ん中と右の積分は \((1)\) と \((2)\) の結果より、それぞれ \(γ\) と \(1\) です。
\begin{alignat}{2}
&=η^2 \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} t^2e^{-t} \exp (-e^{-t})dt+2ημγ+μ^2\\
&=η^2 \displaystyle\int_{\infty}^0 ( \log r)^2re^{-r}\left(-\frac{1}{r}\right)dr+2ημγ+μ^2\\
&=η^2 \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-r}( \log r)^2dr+2ημγ+μ^2\\
&= η^2\{ζ(2)+γ^2\} +2ημγ+μ^2
\end{alignat}以上より \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2=η^2\{ζ(2)+γ^2\}+2ημγ+μ^2-(μ+ηγ)^2\\
&    = η^2\{ζ(2)+γ^2\}+2ημγ+μ^2-μ^2-2ημγ-η^2γ^2=\frac{π^2η^2}{6}
\end{alignat}








\((4)\) モーメント母関数を求めます。\((1)(2)\) と同様に置き換えます。
\begin{alignat}{2}
M(θ)&=E[e^{θX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{θx}\cdot \frac{1}{η} \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\} \exp \left[- \exp \left\{-\left(\frac{x-μ}{η}\right)\right\}\right]dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{(ηt+μ)θ}e^{-t} \exp (-e^{-t})dt\\
&=e^{μθ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ηtθ}e^{-t} \exp (-e^{-t})dt\\
&=e^{μθ}\displaystyle\int_{\infty}^0 r^{-ηθ}re^{-r}\left(-\frac{1}{r}\right)dr\\
&=e^{μθ}\displaystyle\int_0^{\infty}r^{-ηθ}e^{-r}dr\\
&=e^{μθ}\displaystyle\int_0^{\infty}r^{(1-ηθ)-1}e^{-r}dr\\
&=e^{μθ}Γ(1-ηθ)
\end{alignat}









\((5)\) 累積分布関数を求めます。
\begin{alignat}{2}
F(x)&=P(X \leq x)\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^x \frac{1}{η} \exp \left\{-\left(\frac{t-μ}{η}\right)\right\} \exp \left[- \exp \left\{-\left(\frac{t-μ}{η}\right)\right\}\right]dt\\
\end{alignat} \(\displaystyle \frac{t-μ}{η}=s\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{η}dt=ds\right)\)$$F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\frac{x-μ}{η}}e^{-s} \exp (-e^{-s})ds$$\(e^{-s}=p\) と置きます。\(\displaystyle-e^{-s}ds=dp, ds=-\frac{1}{p}dp\)
\begin{alignat}{2}
F(x)&=\displaystyle\int_{\infty}^{e^{-\frac{x-μ}{η}}}pe^{-p}\left(-\frac{1}{p}\right)dp=\displaystyle\int_{e^{-\frac{x-μ}{η}}}^{\infty}e^{-p}dp\\
&=\left[-e^{-p}\right]_{e^{-\frac{x-μ}{η}}}^{\infty}= \exp \left\{ \exp \left(-\frac{x-μ}{η}\right)\right\}
\end{alignat}

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