ガンマ関数[2]

ガンマ関数を \(2\) 階微分、及び \(3\) 階微分して
\(\displaystyle x=1,\frac{1}{2}\) としたときの値は以下のようになります。
\begin{alignat}{2}
&(1)  Γ’’(1)=\frac{π^2}{6}+γ^2\\
&(2)  Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)=\left\{\frac{π^2}{2}+(γ+2 \log 2)^2\right\}\sqrt{π}\\
&(3)  Γ^{(3)}(1)=-2ζ(3)-γ\left(\frac{π^2}{2}+γ^2\right)\\
&(4)  Γ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)=-\left\{14ζ(3)+\frac{3γ}{2}π^2+3π^2 \log 2+(γ+2 \log 2)^3\right\}\sqrt{π}\\
\end{alignat}









<証明>

次のガンマ関数、及びディガンマ関数の値を用います。
\begin{alignat}{2}
&(1)  Γ’\left(\frac{1}{2}\right)=-(γ+ 2 \log 2)\sqrt{π}\\
&(2)  ψ’(1)=\frac{π^2}{6}\\
&(3)  ψ’\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{2}\\
&(4)  ψ’’(1)=-2ζ(3)\\
&(5)  ψ’’\left(\frac{1}{2}\right)=-14ζ(3)\\
\end{alignat}






式の煩雑さを避けるために \(f=Γ(x)\) を置いて \(ψ(x)\) を \(x\) で微分します。$$ψ(x)=\frac{Γ’(x)}{Γ(x)}=\frac{f’}{f},   ψ’(x)=\frac{f’’f-(f’)^2}{f^2}  \cdots (A)$$もう一度、両辺を \(x\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
ψ’’(x)&=\frac{(f^{(3)}f+f’’f’-2f’f’’)f^2-\{f’’f-(f’)^2\} \cdot 2ff’}{f^4}\\
&=\frac{(f^{(3)}f-2f’f’’)f-\{f’’f-(f’)^2\} \cdot 2f’}{f^3}\\
&=\frac{f^2f^{(3)}-ff’f’’-2ff’f’’+2(f’)^3}{f^3}\\
&=\frac{f^2f^{(3)}-3ff’f’’+2(f’)^3}{f^3}  \cdots (B)\\
\end{alignat}




\((1)\) \((A)\) の式に \(x=1\) を代入します。$$ψ’(1)=Γ’’(1)-\{Γ’(1)\}^2$$移項して、それぞれ代入します。以上より$$Γ’’(1)=\frac{π^2}{6}+γ^2$$







\((2)\) \((A)\) の式に \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
ψ’\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)-\left\{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^2}{\left\{Γ\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^2}\\
\frac{π^2}{2}&=\frac{Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{π}-(γ+2 \log 2)^2 π}{π}\\
Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{π}&=\frac{π^3}{2}+(γ+2 \log 2)^2 π
\end{alignat}以上より$$Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)=\left\{\frac{π^2}{2}+(γ+2 \log 2)^2\right\}\sqrt{π}$$








\((3)\) \((B)\) の式に \(x=1\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
ψ’’(1)&=Γ^{(3)}(1)-3Γ’(1)Γ’’(1)+2\left\{Γ’(1)\right\}^3\\
-2ζ(3)&=Γ^{(3)}(1)+3γ\left(\frac{π^2}{6}+γ^2\right)-2γ^3\\
&=Γ^{(3)}(1)+γ\left(\frac{π^2}{2}+γ^2\right)\\
\end{alignat}以上より$$Γ^{(3)}(1)=-2ζ(3)-γ\left(\frac{π^2}{2}+γ^2\right)$$







\((4)\) \((B)\) の式に \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
ψ’’\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{\left\{Γ\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^2Γ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)-3Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’\left(\frac{1}{2}\right)Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)+2 \left\{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^3}{\left\{Γ\left(\frac{1}{2}\right)\right\}^3}\\
-14ζ(3)\cdot π^{\frac{3}{2}}&=πΓ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)+3\sqrt{π} \cdot (γ+2 \log 2) \sqrt{π} \cdot \left\{\frac{π^2}{2}+(γ+2 \log 2)^2\right\}\sqrt{π}-2(γ+2 \log 2)^3 π^{\frac{3}{2}}\\
&=πΓ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)+(γ+2 \log 2)\cdot \frac{3}{2}π^{\frac{7}{2}}+3(γ+2 \log 2)^3 π^{\frac{3}{2}}-2(γ+2 \log 2)^{\frac{3}{2}}π^{\frac{3}{2}}\\
&=πΓ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)+(γ+2 \log 2)\cdot \frac{3}{2}π^{\frac{7}{2}}+(γ+2 \log 2)^3 π^{\frac{3}{2}}\\
πΓ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)&=-14ζ(3)\cdot π^{\frac{3}{2}}-(γ+2 \log 2)\cdot \frac{3}{2}π^{\frac{7}{2}}-(γ+2 \log 2)^3 π^{\frac{3}{2}}\\
&=-π^{\frac{3}{2}}\left\{14ζ(3)+\frac{3γ}{2}π^2+3π^2 \log 2+(γ+2 \log 2)^3\right\}
\end{alignat}以上より$$Γ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)=-\left\{14ζ(3)+\frac{3γ}{2}π^2+3π^2 \log 2+(γ+2 \log 2)^3\right\}\sqrt{π}$$








また、ガンマ関数$$Γ(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}e^{-x}dx$$において、\(p\) で微分すれば
\begin{alignat}{2}
Γ’(p)&=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log x)x^{p-1}e^{-x}dx\\
Γ’’(p)&=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log x)^2x^{p-1}e^{-x}dx\\
Γ’’’(p)&=\displaystyle\int_0^{\infty} (\log x)^3x^{p-1}e^{-x}dx\\
\end{alignat}であり \(\displaystyle p=1,\frac{1}{2}\) を代入することで、

このページで求めたものは、次の積分の結果であることが分かります。
\begin{alignat}{2}
&(1)  Γ’’(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x} (\log x)^2dx=\frac{π^2}{6}+γ^2\\
&(2)  Γ’’\left(\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x} (\log x)^2}{\sqrt{x}}dx=\left\{\frac{π^2}{2}+(γ+2 \log 2)^2\right\}\sqrt{π}\\
&(3)  Γ^{(3)}(1)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x} (\log x)^3dx=-2ζ(3)-γ\left(\frac{π^2}{2}+γ^2\right)\\
&(4)  Γ^{(3)}\left(\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x} (\log x)^3}{\sqrt{x}}dx=-\left\{14ζ(3)+\frac{3γ}{2}π^2+3π^2 \log 2+(γ+2 \log 2)^3\right\}\sqrt{π}\\
\end{alignat}

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