ガウス積分

\begin{cases}
I_{2n+1}=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n+1} e^{-ax^2}dx=\frac{n!}{2a^{n+1}} \\
I_{2n}=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}  ( n \geq 0 , n \in \mathrm{Z})
\end{cases}\begin{cases}
J_{2n+1}=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n+1}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=\frac{(2n)!!}{a^{n+1}}\\
J_{2n}=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=\frac{(2n-1)!!}{a^n}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2π}{a}}   ( n \geq 0 , n \in \mathrm{Z})
\end{cases}











\((1)\) \(I_0\) を求めます。 \begin{alignat}{2}
\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\right)^2&= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ay^2}dy\\
&= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x^2+y^2)}dxdy
\end{alignat} \(x=r \cos θ, y= r \sin θ\) とおくと \(|J|=r\) となりますので \begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{2π}\displaystyle\int_{0}^{\infty} re^{-ar^2}drdθ= \displaystyle\int_{0}^{2π} dθ \displaystyle\int_{0}^{\infty} re^{-ar^2}dr\\
&=2π \displaystyle\int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{2a}\right)(-2ar)e^{-ar^2}dr\\
&=-\frac{π}{a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} (e^{-ar^2})’dr=-\frac{π}{a}[e^{-ar^2}]_0^{\infty}=\frac{π}{a}
\end{alignat} $$ \left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\right)^2=\frac{π}{a}       \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{π}{a}}$$ 左辺は偶関数なので$$I_0=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}$$






\((2)\) \(I_1\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
I_1&=\displaystyle\int_{0}^{\infty} xe^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} (-2ax)e^{-ax^2}dx\\
&=-\frac{1}{2a}[e^{-ax^2}]_0^{\infty}=\frac{1}{2a}
\end{alignat}






\((3)\)  \(I_2\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
I_2&=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x^2e^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x(-2ax)e^{-ax^2}dx\\
&=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{[xe^{-ax^2}]_0^{\infty}- \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2a}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{
\frac{π}{a}}=\frac{\sqrt{π}}{4a^{\frac{3}{2}}}\\
\end{alignat}






\((4)\)  \(I_{2n+1}\) を求めます。 \begin{alignat}{2}
I_{2n+1}&= \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n+1}e^{-ax^2}dx\\
&=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n}(-2ax)e^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n}(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{[x^{2n}e^{-ax^2}]_0^{\infty}- \displaystyle\int_{0}^{\infty} 2nx^{2n-1}e^{-ax^2}dx\right\}\\
&=\frac{n}{a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n-1}e^{-ax^2}dx=\frac{n}{a}I_{2(n-1)+1} \\
&I_{2n+1}=\frac{n}{a}I_{2(n-1)+1}   , I_{2(n-1)+1}=\frac{n-1}{a}I_{2(n-2)+1} \\
&I_{2(n-2)+1}=\frac{n-2}{a}I_{2(n-3)+1}    \cdots   I_{2 \cdot 1+1}=\frac{1}{a}I_{2 \cdot 0+1}
\end{alignat} となりますので、次々に代入していくと\begin{alignat}{2}
&I_{2n+1}=\frac{n}{a} \cdot \frac{n-1}{a} \cdot \frac{n-2}{a}   \cdots   \frac{3}{a} \cdot \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot I_1\\
&I_{2n+1}=\frac{n!}{a^n}\cdot \frac{1}{2a}=\frac{n!}{2a^{n+1}}
\end{alignat}





\((5)\)  \(I_{2n}\) を求めます。 \begin{alignat}{2}
I_{2n}&= \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n}e^{-ax^2}dx\\
&=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n-1}(-2ax)e^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n-1}(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{[x^{2n-1}e^{-ax^2}]_0^{\infty}- \displaystyle\int_{0}^{\infty} (2n-1)x^{2n-2}e^{-ax^2}dx\right\}\\
&=\frac{2n-1}{2a} \displaystyle\int_{0}^{\infty} x^{2n-2}e^{-ax^2}dx=\frac{2n-1}{2a}I_{2(n-1)+1} \\
&I_{2n}=\frac{2n-1}{2a}I_{2(n-1)}   , I_{2(n-1)}=\frac{2n-3}{2a}I_{2(n-2)} \\
&I_{2(n-2)}=\frac{2n-5}{2a}I_{2(n-3)}    \cdots   I_{2 \cdot 2}=\frac{3}{2a}I_{2 \cdot 1}  I_{2 \cdot 1}=\frac{1}{2a}I_{2 \cdot 0}
\end{alignat} となりますので、次々に代入していくと\begin{alignat}{2}
&I_{2n}=\frac{2n-1}{2a} \cdot \frac{2n-3}{2a} \cdot \frac{2n-5}{2a}   \cdots   \frac{5}{2a} \cdot \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2a} \cdot I_0\\
&I_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}
\end{alignat}



\((6)\) \(J_0\) を求めます。\((1)\) の結果を用いれば直ちに 
$$J_0=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{\frac{a}{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2π}{a}}$$





\((7)\) \(J_1\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
J_1&=\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-\frac{ax^2}{2}}dx=-\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} (-ax)e^{-\frac{ax^2}{2}}dx\\
&=-\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} (e^{-\frac{ax^2}{2}})’dx=-\frac{1}{a}[e^{-\frac{ax^2}{2}}]_0^{\infty}=\frac{1}{a}
\end{alignat}





\((8)\) \(J_{2n+1}\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
J_{2n+1}&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n+1}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx\\
&=-\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}(-ax)e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=-\frac{1}{a} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}(e^{-\frac{ax^2}{2}})’dx\\
&=-\frac{1}{a}\left\{[x^{2n}e^{-\frac{ax^2}{2}}]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} 2nx^{2n-1}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx\right\} \\
&=\frac{2n}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=\frac{2n}{a}J_{2n-1} \\
&J_{2n+1}=\frac{2n}{a}J_{2n-1},  J_{2n-1}=\frac{2n-2}{a}J_{2n-3}\\
&J_{2n-3}=\frac{2n-4}{a}J_{2n-5}, \cdots  J_3=\frac{2}{a}J_1
\end{alignat}となりますので、次々に代入していくと
\begin{alignat}{2}
&J_{2n+1}=\frac{2n}{a} \cdot \frac{2n-2}{a} \cdot \frac{2n-4}{a} \cdots \frac{4}{a} \cdot \frac{2}{a} J_1\\
&J_{2n+1}=\frac{(2n)!!}{a^n}\cdot \frac{1}{a}=\frac{(2n)!!}{a^{n+1}}
\end{alignat}





\((9)\) \(J_{2n}\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
J_{2n}&=\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx\\
&=-\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}(-ax)e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=-\frac{1}{a} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}(e^{-\frac{ax^2}{2}})’dx\\
&=-\frac{1}{a}\left\{[x^{2n-1}e^{-\frac{ax^2}{2}}]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} (2n-1)x^{2n-2}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx\right\} \\
&=\frac{2n-1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-2}e^{-\frac{ax^2}{2}}dx=\frac{2n-1}{a}J_{2n-2} \\
&J_{2n}=\frac{2n-1}{a}J_{2n-2},  J_{2n-2}=\frac{2n-3}{a}J_{2n-4}\\
&J_{2n-4}=\frac{2n-5}{a}J_{2n-6}, \cdots  J_2=\frac{1}{a}J_0
\end{alignat}となりますので、次々に代入していくと
\begin{alignat}{2}
&J_{2n}=\frac{2n-1}{a} \cdot \frac{2n-3}{a} \cdot \frac{2n-5}{a} \cdots \frac{3}{a} \cdot \frac{1}{a} J_0\\
&J_{2n}=\frac{(2n-1)!!}{a^n}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2π}{a}}
\end{alignat}

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