逆三角関数の加法定理

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin^{-1} x\pm \sin^{-1} y= \sin^{-1} (x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}) \\
&(2) \cos^{-1} x\pm \cos^{-1} y= \cos^{-1} \left(xy \mp \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right) \\
&(3) \tan^{-1} x \pm \tan^{-1} y= \tan^{-1} \left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right)
\end{alignat}                    



<証明>
\((1) \sin^{-1} x=α, \sin^{-1} y=β\) とおくと
   \( \sin α=x, \sin β=y\) であるから
\begin{alignat}{2}
& \sin (α \pm β)= \sin α \cos β \pm \cos α \sin β \\
&= \sin α\sqrt{1- \sin^2 β} \pm \sin β\sqrt{1- \sin^2 α} \\
&= x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}
\end{alignat} $$ α \pm β= \sin^{-1} (x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}) $$ $$ \sin^{-1} x\pm \sin^{-1} y= \sin^{-1} (x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2}) $$


\((2) \cos^{-1} x=α, \cos^{-1} y=β\) とおくと
   \( \cos α =x, \cos β=y\) であるから
\begin{alignat}{2}
& \cos (α \pm β)= \cos α \cos β \mp \sin α \sin β \\
&= \cos α \cos β \mp \sqrt{1- \cos^2 α} \sqrt{1- \cos^2 β} \\
&=xy \mp \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}
\end{alignat} $$ α \pm β= \cos^{-1} \left(xy \mp \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right) $$ $$ \cos^{-1} x\pm \cos^{-1} y= \cos^{-1} \left(xy \mp \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\right) $$


\((3) \tan^{-1} x=α, \tan^{-1} y=β\) とおくと
   \( \tan α =x, \tan β=y\) であるから
$$ \tan (α \pm β)=\frac{ \tan α \pm tanβ} {1 \mp \tan α \tan β} =\frac{x \pm y} {1 \mp xy} $$$$ α \pm β= \tan^{-1} \left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right) $$ $$ \tan^{-1} x \pm \tan^{-1} y= \tan^{-1}\left(\frac{x \pm y}{1 \mp xy}\right) $$

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