逆三角関数の和=π/4(1)

\begin{alignat}{2}
&(1) \tan^{-1} \frac{1}{2}+ \tan^{-1} \frac{1}{3}=\frac{π}{4}\\
&(2) 4 \tan^{-1} \frac{1}{5}-\tan^{-1} \frac{1}{239}=\frac{π}{4} \\
&(3) 2 \tan^{-1} \frac{1}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{7}=\frac{π}{4} \\
&(4) 5 \tan^{-1} \frac{1}{7}+2 \tan^{-1} \frac{3}{79}=\frac{π}{4} \\
&(5) 2 \tan^{-1} \frac{1}{2}-\tan^{-1} \frac{1}{7}=\frac{π}{4} \\
&(6) 3 \tan^{-1} \frac{1}{4}+ \tan^{-1} \frac{5}{99}=\frac{π}{4} \\
&(7) \tan^{-1} \frac{1}{p}= \tan^{-1} \frac{1}{p+q}+ \tan^{-1} \frac{q}{p^2+pq+1}
\end{alignat}                 





<証明>
\((1)\) \(\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}=α, \tan^{-1} \frac{1}{3}=β \)  とおくと
  \(\displaystyle \tanα=\frac{1}{2}, tanβ=\frac{1}{3}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{4}\right) \) と書けるので
\begin{alignat}{2}
&\tan (α+β)=\frac{ \tan α+ \tan β}{1- \tan α \tan β}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}・\frac{1}{3}}=\frac{3+2}{6-1}=1 \\
& \tan (α+β)=1 \left(0\lt α+β\lt\frac{π}{2}\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle α+β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と \(β\) を元に戻せば$$ \tan^{-1} \frac{1}{2}+ \tan^{-1} \frac{1}{3}=\frac{π}{4} $$




\((2)\) \( \displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{5}=α, tan^{-1}\frac{1}{239}=β\) とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{5}, \tan β=\frac{1}{239}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{4}\right) \) と書ける。
\begin{alignat}{2}
&\tan 2α=\frac{2 \tan α}{1- \tan^2 α}=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{10}{25-1}=\frac{5}{12}\\
&tan4α=\frac{2 \tan 2α}{1- \tan^2 2α}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{120}{144-25}=\frac{120}{119}\\
& \tan (4α-β)=\frac{ \tan 4α- \tan β}{1+ \tan 4α \tan β}=\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119}・\frac{1}{239}}=\frac{120・239-119}{119・239+120}=1 \\
&tan(4α-β)=1 \left(-\frac{π}{4}\lt 4α-β\lt π\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle 4α-β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と \(β\) を元に戻せば$$ 4 \tan^{-1} \frac{1}{5}- \tan^{-1} \frac{1}{239}=\frac{π}{4} $$





\((3)\) \(\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{3}=α, \tan^{-1} \frac{1}{7}=β \)  とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{3}, \tan β=\frac{1}{7}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{4}\right) \) と書ける。
\begin{alignat}{2}
&\tan 2α=\frac{2 \tan α}{1- \tan^2 α}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{6}{9-1}=\frac{3}{4}\\
&\tan (2α+β)=\frac{ \tan 2α+ \tan β}{1- \tan 2α \tan β}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}・\frac{1}{7}}=\frac{7・3+4}{28-3}=1 \\
& \tan (2α+β)=1 \left(0\lt 2α+β\lt \frac{3}{4}π\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle 2α+β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と \(β\) を元に戻せば$$ 2 \tan^{-1}\frac{1}{3}+ \tan^{-1} \frac{1}{7}=\frac{π}{4} $$





\((4)\) \(\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{7}=α, \tan^{-1} \frac{3}{79}=β \) とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{7}, \tan β=\frac{3}{79}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{8}\right) \) と書ける。\begin{alignat}{2}
&\tan 2α=\frac{2 \tan α}{1- \tan^2 α}=\frac{\frac{2}{7}}{1-\frac{1}{49}}=\frac{14}{49-1}=\frac{7}{24} \\
&\tan 3α=\frac{3 \tan α- \tan^3 α}{1-3 \tan^2 α}=\frac{\frac{3}{7}+\frac{1}{343}}{1-\frac{3}{49}}=\frac{3・49-1}{343-21}=\frac{146}{322}=\frac{73}{161} \\
& \tan 5α=\frac{ \tan 2α+ \tan 3α}{1- \tan 2α \tan 3α}=\frac{\frac{7}{24}+\frac{73}{161}}{1-\frac{7}{24}・\frac{73}{161}}=\frac{7・161+73・24}{24・161-7・73}=\frac{1127+1752}{3864-511}=\frac{2879}{3353} \\
& \tan 2β=\frac{2 \tan β}{1- \tan^2 β}=\frac{\frac{6}{79}}{1-\left(\frac{3}{79}\right)^2}=\frac{79・6}{79^2-9}=\frac{474}{6232}=\frac{237}{3116} \\
& \tan (5α+2β)=\frac{ \tan 5α+ \tan 2β}{1- \tan 5α \tan 2β}=\frac{\frac{2879}{3353}+\frac{237}{3116}}{1-\frac{2879}{3353}・\frac{237}{3116}}=\frac{2879・3116+237・3353}{3353・3116-2879・237} \\
&           =\frac{8970964+794661}{10447948-682323}=\frac{9765625}{9765625}=1\\
& \tan (5α+2β)=1 \left(0\lt 5α+2β\lt \frac{7}{8}π\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle 5α+2β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と \(β\) を元に戻せば$$ 5 \tan^{-1}\frac{1}{7}+2 \tan^{-1} \frac{3}{79}=\frac{π}{4} $$




\((5)\) \(\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{2}=α, \tan^{-1} \frac{1}{7}=β \)  とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{2}, \tanβ=\frac{1}{7}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{4}\right) \) と書ける。
\begin{alignat}{2}
&\tan 2α=\frac{2 \tan α}{1- \tan^2 α}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{4-1}=\frac{4}{3}\\
& \tan (2α-β)=\frac{ \tan 2α- \tan β}{1+ \tan 2α \tan β}=\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1-\frac{4}{3}・\frac{1}{7}}=\frac{4・7-3}{21+4}=1 \\
&\tan(2α-β)=1 \left(\frac{π}{4}\lt 2α-β\lt \frac{π}{2}\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle 2α-β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と\(β\) を元に戻せば$$ 2 \tan^{-1} \frac{1}{2}- \tan^{-1}\frac{1}{7}=\frac{π}{4} $$





\((6)\) \(\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{4}=α, \tan^{-1}\frac{5}{99}=β \)  とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{4}, \tan β=\frac{5}{99}   \left(0 \lt α,β\lt \frac{π}{4}\right) \) と書ける。
\begin{alignat}{2}
&\tan 3α=\frac{3 \tan α- \tan^3 α}{1-3 \tan^2 α}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{64}}{1-\frac{3}{16}}=\frac{48-1}{64-12}=\frac{47}{52}\\
& \tan (3α+β)=\frac{ \tan 3α+ \tan β}{1- \tan 3α \tan β}=\frac{\frac{47}{52}+\frac{5}{99}}{1-\frac{47}{52}・\frac{5}{99}}=\frac{47・99+5・52}{52・99-47・5}=\frac{4653+260}{5148-235}=\frac{4913}{4913}=1 \\
& \tan (3α+β)=1 \left(0\lt 3α+β\lt π\right) 
\end{alignat}\(\displaystyle 3α+β=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α\) と \(β\)を元に戻せば$$ 3 \tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{5}{99}=\frac{π}{4} $$






\((7)\) \(\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{p}=α, \tan^{-1} \frac{1}{p+q}=β,  \tan^{-1}\frac{q}{p^2+pq+1}=γ\) とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{p}, \tan β=\frac{1}{p+q}, \tan γ=\frac{q}{p^2+pq+1} \) \begin{alignat}{2}
& \tan (β+γ)=\frac{ \tan β+ \tan γ}{1- \tan β \tan γ} \\
&         =\frac{\frac{1}{p+q}+\frac{q}{p^2+pq+1}}{1-\frac{1}{p+q}・\frac{q}{p^2+pq+1}}=\frac{p^2+pq+1+q(p+q)}{(p+q)(p^2+pq+1)-q} \\
&         =\frac{p^2+2pq+q^2+1}{p^3+2p^2q+pq^2+p}=\frac{p^2+2pq+q^2+1}{p(p^2+2pq+q^2+1)}=\frac{1}{p}=\tan α
\end{alignat}\(α=β+γ\) が得られるので、それぞれ元に戻せば$$\tan^{-1} \frac{1}{p}=\tan^{-1} \frac{1}{p+q}+ \tan^{-1} \frac{q}{p^2+pq+1}$$

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