(4) 逆三角関数の和=π/4

$$ 4 \tan^{-1}\frac{1}{5}- \tan^{-1} \frac{1}{70}+ \tan^{-1} \frac{1}{99}=\frac{π}{4} $$を証明します。

\(\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{5}=α, \tan^{-1} \frac{1}{70}=β, \tan^{-1} \frac{1}{99}=γ \)  とおくと
\(\displaystyle \tan α=\frac{1}{5} 、\tan β=\frac{1}{70} 、\tan γ=\frac{1}{99}   \left(0 \lt α,β,γ\lt \frac{π}{4}\right) \) と書ける。\begin{alignat}{2} & \tan 2α=\frac{2 \tan α}{1- \tan^2 α}=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}=\frac{10}{25-1}=\frac{5}{12} \\ &\tan 4α=\frac{2 \tan 2α}{1-\tan^2 2α}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}=\frac{120}{144-25}=\frac{120}{119}\end{alignat}\begin{alignat}{4}
&   \tan (4α-β+γ) \\
&=\frac{ \tan 4α- \tan β+ \tan γ+ \tan 4α \tan β \tan γ}{1+ \tan 4α \tan β+ \tan β \tan γ- \tan γ \tan 4α} \\
&=\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{70}+\frac{1}{99}+\frac{120}{119}・\frac{1}{70}・\frac{1}{99}}{1+\frac{120}{119}・\frac{1}{70}+\frac{1}{70}・\frac{1}{99}-\frac{1}{99}・\frac{120}{119}} \\
&=\frac{120・70・99-119・99+119・70+120}{119・70・99+120・99+119-120・70} \\
&=\frac{831600-11781+8330+120}{824670+11880+119-8400} \\
&=\frac{828269}{828269}=1 \\
&\tan (4α-β+γ)=1 \left(-\frac{π}{4}\lt 4α-β+γ\lt \frac{5}{4}π \right) 
\end{alignat}\( \displaystyle 4α-β+γ=\frac{π}{4}\) が得られるので \(α,β,γ\) を元に戻せば$$ 4 \tan^{-1} \frac{1}{5}- \tan^{-1} \frac{1}{70}+ \tan^{-1} \frac{1}{99}=\frac{π}{4} $$

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