逆三角関数の等式(1)

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin^{-1} x= \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}= \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\
&(2) \cos^{-1} x=\sin^{-1} \sqrt{1-x^2}=\tan^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \\ 
&(3) \tan^{-1} x=\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
&(4) \cot^{-1} x= \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}= \tan^{-1} \frac{1}{x}
\end{alignat}                          






\((1)\) \(\sin^{-1} x=α, \sin α=x\) とおくと
\begin{alignat}{2}
&\cos α=\sqrt{1- \sin^2 α}=\sqrt{1-x^2},  cos^{-1}\sqrt{1-x^2}=α\\
& \tan α=\frac{ \sin α}{\cos α}=\frac{x}{1-x^2},  \tan^{-1} \frac{x}{1-x^2}=α\\
\end{alignat} であるから \(α\) を等号で繋げば$$ \sin^{-1} x=\cos^{-1} \sqrt{1-x^2}=\tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$




\((2)\) \(\cos^{-1} x=α, \cos α=x\) とおくと
\begin{alignat}{2}
&\sin α=\sqrt{1- \cos^2 α}=\sqrt{1-x^2},  \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}=α\\
&\tan α=\frac{ \sin α}{ \cos α}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},  \tan^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=α\\
\end{alignat} であるから \(α\) を等号で繋げば$$ \cos^{-1} x= \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}= \tan^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$




\((3)\) \(\tan^{-1} x=α, \tan α=x\) とおくと
\begin{alignat}{2}
&\sin α=\frac{ \tan x}{\sqrt{1+ \tan^2 α}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},  \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=α\\
&\cos α=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan^2 α}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},  \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=α
\end{alignat}であるから \(α\) を等号で繋げば$$ \tan^{-1} x= \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}= \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$




\((4)\) \( \cot^{-1} x=α, \cot α=x\) とおくと
\begin{alignat}{2}
&\tan α=\frac{1}{ \cot α}=\frac{1}{x},  \tan^{-1} \frac{1}{x}=α\\
&\sin α=\frac{ \tan x}{\sqrt{1+ \tan^2 α}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{1+x^2},  \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=α\\
&\cos α=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 α}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{x}{1+x^2},  \cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=α
\end{alignat}であるから \(α\) を等号で繋げば$$ \cot^{-1} x= \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}= \cos^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}= \tan^{-1} \frac{1}{x}$$

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