逆双曲線関数の対数表示

\begin{alignat}{2}
&(1) \sinh^{-1} x= \log (x+\sqrt{x^2+1})\\
&(2) \cosh^{-1} x= \log (x+\sqrt{x^2-1})  ( x \geq 1)\\
&(3) \tanh^{-1} x=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)  ( -1 \lt x \lt 1 )\\
&(4) \mathrm{csch^{-1}}\,x= \log \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)  ( x ≠0 )\\
&(5) \mathrm{sech^{-1}}\,x= \log \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)  ( 0 \lt x \leq 1) \\
&(6) \coth^{-1} x=\frac{1}{2} \log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)  ( |x| \gt 1 )
\end{alignat}








<証明>

\((1)\)  \(\displaystyle y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。(途中は \(e^y\) の2次方程式です。)
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}, 2x=e^y-e^{-y}\\
&e^{2y}-2xe^y-1=0, e^y=x \pm \sqrt{x^2+1} 
\end{alignat} \(x \lt \sqrt{x^2+1}\) かつ \(e^y \gt 0 \) ですので

\( e^y=x-\sqrt{x^2+1}\) は不適です。よって
\begin{alignat}{2}
&e^y=x+\sqrt{x^2+1}, y= \log (x+\sqrt{x^2+1})
\end{alignat}以上より$$\sinh^{-1} x= \log (x+\sqrt{x^2+1})$$







\((2)\)  \(\displaystyle y= \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。(途中は \(e^y\) の2次方程式です。)
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{e^y+e^{-y}}{2}, 2x=e^y+e^{-y}\\
&e^{2y}-2xe^y+1=0, e^y=x \pm \sqrt{x^2-1} 
\end{alignat} ここで \( e^y=x-\sqrt{x^2-1}\) について

\(\displaystyle e^y=x-\sqrt{x^2-1}=\frac{x^2-(x^2-1)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\)

\(x \geq 1, y \geq 0 \) とすると \(e^y \geq 1\) ですが、

上の式は \(1\) 未満となりますので、

\( e^y=x-\sqrt{x^2-1}\) は不適となります。よって
\begin{alignat}{2}
&e^y=x+\sqrt{x^2-1}, y= \log (x+\sqrt{x^2-1})
\end{alignat}以上より$$\cosh^{-1} x= \log (x+\sqrt{x^2-1}) $$







\((3)\) \(\displaystyle y= \tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}\\
&x(e^{2y}+1)=e^{2y}-1,  xe^{2y}+x=e^{2y}-1\\
&e^{2y}(1-x)=1+x,  e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}\\ &2y=\log \left(\frac{1+x}{1-x}\right),  y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\end{alignat}以上より$$ \tanh^{-1} x=\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$






\((4)\) \(\displaystyle y=\mathrm{csch}\,x=\frac{2}{e^x-e^{-x}}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。(途中は \(e^y\) の2次方程式です。)
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{2}{e^y-e^{-y}},  x(e^y-e^{-y})=2\\
&x(e^{2y}-1)=2e^y,  xe^{2y}-2e^y-x=0\\
&e^y=\frac{1 \pm \sqrt{1+x^2}}{x}
\end{alignat} ここで \(\displaystyle e^y=\frac{1- \sqrt{1+x^2}}{x}\) について

\(\displaystyle e^y=\frac{1- \sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1-(1+x^2)}{x(1+\sqrt{1+x^2})}=\frac{-x^2}{x(1+\sqrt{1+x^2})}=\frac{-x}{1+\sqrt{1+x^2}}\)

\(e^y \gt 0\) ですが、上の式は負となり得るので不適です。よって
\begin{alignat}{2}
&e^y=\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x} ,  y= \log \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}
\end{alignat}以上より$$\mathrm{csch^{-1}}\,x= \log \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$$






\((5)\) \(\displaystyle y=\mathrm{sech}\,x=\frac{2}{e^x+e^{-x}}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。(途中は \(e^y\) の2次方程式です。)
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{2}{e^y+e^{-y}},  x(e^y+e^{-y})=2\\
&x(e^{2y}+1)=2e^y,  xe^{2y}-2e^y+x=0\\
&e^y=\frac{1 \pm \sqrt{1-x^2}}{x}
\end{alignat} ここで \(\displaystyle e^y=\frac{1- \sqrt{1-x^2}}{x}\) について

\(\displaystyle e^y=\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}=\frac{1-(1-x^2)}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=\frac{x^2}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\)

\(0 \lt x \leq 1, y \geq 0 \) とすると \(e^y \geq 1\) ですが、

上の式は \(1\) 未満となるので不適です。よって
\begin{alignat}{2}
&e^y=\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} ,  y= \log \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}
\end{alignat}以上より$$\mathrm{sech^{-1}}\,x= \log \left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)$$







\((6)\) \(\displaystyle y= \coth x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて、

  \(y\) について解きます。
\begin{alignat}{2}
&x=\frac{e^y+e^{-y}}{e^y-e^{-y}}=\frac{e^{2y}+1}{e^{2y}-1}\\
&x(e^{2y}-1)=e^{2y}+1,  xe^{2y}-x=e^{2y}+1\\
&e^{2y}(x-1)=x+1,  e^{2y}=\frac{x+1}{x-1}\\ &2y= \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right),  y=\frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)
\end{alignat}以上より$$ \coth^{-1} x=\frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$$

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