逆正弦関数の積分計算

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \sin^{-1} axdx=x \sin^{-1} ax+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}\\
&(2) \displaystyle\int x \sin^{-1} axdx=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax-\frac{1}{4a^2} \sin^{-1} ax+\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4a}\\
&(3) \displaystyle\int x^2 \sin^{-1} axdx=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{(a^2x^2+2)\sqrt{1-a^2x^2}}{9a^3}\\
&(4) \displaystyle\int x^m \sin^{-1} axdx=\frac{x^{m+1} \sin^{-1} ax}{m+1}-\frac{a}{m+1}\displaystyle \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx (m≠-1)\\
&(5) \displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^2dx=x( \sin^{-1} ax)^2+\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2x^2}\sin^{-1} ax-2x\\
&(6) \displaystyle\int (\sin^{-1} ax)^ndx=x(\sin^{-1} ax)^n+\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}( \sin^{-1} ax)^{n-1}}{a}\\
&             -n(n-1)\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^{n-2}dx\\
&(7) \displaystyle\int (\sin^{-1}ax)^ndx=\frac{x( \sin^{-1} ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}(\sin^{-1} ax)^{n+1}}{a(n+1)}\\
&             -\frac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\int ( \sin^{-1} x)^{n+2}dx (n ≠-1,-2)
\end{alignat}



<証明>
途中、次の等式を用いてます。
\begin{alignat}{2}
&\{(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}=\frac{-a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}\\
&\{(1-a^2x^2)^{\frac{3}{2}}\}’=\frac{3}{2}(1-a^2x^2)^\frac{1}{2}(-2a^2x)=-3a^2x(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\\
\end{alignat}
また \((1)\) から \((7)\) まで、部分積分、分子に1を加えて引き積分を切り離す、
及び、基本的な積分の公式を用いて証明しています。
その他の操作があれば補足します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \sin^{-1} axdx=x \sin^{-1} ax-\displaystyle\int x \cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&               =x \sin^{-1} ax+\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{-a^2x}{1-a^2x^2}dx\\
&               =x \sin^{-1} ax+\frac{1}{a}\displaystyle\int \{(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\}’dx\\
&               =x \sin^{-1} ax+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}
&\\
&\\
&\\
&\\
&(2) \displaystyle\int x \sin^{-1} axdx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax-\displaystyle\int \frac{1}{2}x^2\cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \ \frac{-a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \ \frac{1-a^2x-1}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \ \sqrt{1-a^2x^2}dx-\frac{1}{2a}\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{2}\displaystyle\int \ \sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}dx-\frac{1}{2a^2}\displaystyle\int \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\left(x\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}+\frac{1}{a^2} \sin^{-1} ax\right)-\frac{1}{2a^2} \sin^{-1} ax\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax+\frac{1}{4}x\cdot \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+\frac{1}{4a^2} \sin^{-1} ax-\frac{1}{2a^2} \sin^{-1} ax\\
&=\frac{1}{2}x^2 \sin^{-1} ax-\frac{1}{4a^2} \sin^{-1} ax+\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4a}
&\\
&\\
&\\
&\\
&(3) \displaystyle\int x^2 \sin^{-1} axdx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax-\displaystyle\int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{1}{3a}\displaystyle\int x^2 \cdot \frac{-a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{1}{3a}\displaystyle\int x^2 \{(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\}’dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{1}{3a}\left( x^2\sqrt{1-a^2x^2}-\displaystyle\int 2x\sqrt{1-a^2x^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{x^2}{3a}\sqrt{1-a^2x^2}+\frac{2}{9a^3}\displaystyle\int (-3a^2x)(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{x^2}{3a}\sqrt{1-a^2x^2}+\frac{2}{9a^3}\displaystyle\int \{(1-a^2x^2)^{\frac{3}{2}}\}’dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{x^2}{3a}\sqrt{1-a^2x^2}+\frac{2}{9a^3}(1-a^2x^2)^{\frac{3}{2}}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{x^2\sqrt{1-a^2x^2}}{3a}+\frac{2(1-a^2x^2)\sqrt{1-a^2x^2}}{9a^3}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{3a^2x^2\sqrt{1-a^2x^2}+(2-2a^2x^2)\sqrt{1-a^2x^2}}{9a^3}dx\\
&=\frac{1}{3}x^3 \sin^{-1} ax+\frac{(a^2x^2+2)\sqrt{1-a^2x^2}}{9a^3}\\
&\\
&\\
&\\
&\\
&(4) \displaystyle\int x^m \sin^{-1} axdx=\frac{x^{m+1}}{m+1} \sin^{-1} ax-\displaystyle\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&                 =\frac{x^{m+1} \sin^{-1} ax}{m+1}-\frac{a}{m+1}\displaystyle\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx
&\\
&\\
&\\
&\\
&(5) \displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^2dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^2-\displaystyle\int x \cdot 2 \sin^{-1} ax \cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^2+\frac{2}{a}\displaystyle\int \sin^{-1} ax \cdot \frac{-a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^2+\frac{2}{a}\displaystyle\int \{(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\}’ \sin^{-1} ax dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^2+\frac{2}{a}\left( \sqrt{1-a^2x^2} \sin^{-1} ax-\displaystyle\int \sqrt{1-a^2x^2} \cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}} dx\right)\\
&=x( \sin^{-1} ax)^2+\frac{2}{a}\sqrt{1-a^2x^2}\sin^{-1} ax-2x\\
&\\
&\\
&\\
&\\
&(6) \displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^ndx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^n-\displaystyle\int x \cdot n( \sin^{-1} ax)^{n-1}\frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^n+\frac{n}{a}\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^{n-1}\frac{-a^2x}{\sqrt{1-a^2x^2}}dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^n+\frac{n}{a}\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^{n-1}\{(1-a^2x^2)^{\frac{1}{2}}\}’dx\\
&=x( \sin^{-1} ax)^n+\frac{n}{a}\left\{\sqrt{1-a^2x^2}( \sin^{-1} ax)^{n-1}-\displaystyle\int (n-1)( \sin^{-1} ax)^{n-2} \cdot \frac{a}{\sqrt{1-a^2x^2}}\cdot \sqrt{1-a^2x^2}dx\right\}\\
&=x(\sin^{-1} ax)^n+\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}( \sin^{-1} ax)^{n-1}}{a}-n(n-1)\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^{n-2}dx\\
\end{alignat}




\((7)\) \((6)\) の式において、一番右の項を左辺移項して、それ以外を右辺に持って行きます。その後 \(n\) を \(n+2\) に書き換え、両辺を \((n+1)(n+2)\) で割ります。
\begin{alignat}{2}
&n(n-1)\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^{n-2}dx=x(\sin^{-1} ax)^n+\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}( \sin^{-1} ax)^{n-1}}{a}-\displaystyle\int (\sin^{-1} ax)^ndx\\
&(n+2)(n+1)\displaystyle\int ( \sin^{-1} ax)^ndx=x(\sin^{-1} ax)^{n+2}+\frac{(n+2)\sqrt{1-a^2x^2}( \sin^{-1} ax)^{n+1}}{a}-\displaystyle\int (\sin^{-1} ax)^{n+2}dx\\
&\displaystyle\int (\sin^{-1}ax)^ndx=\frac{x( \sin^{-1} ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}(\sin^{-1} ax)^{n+1}}{a(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\displaystyle\int ( \sin^{-1} x)^{n+2}dx
\end{alignat}

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