逆双曲線関数の加法定理

\begin{alignat}{2}
&(1) \sinh^{-1} x\pm \sinh^{-1} y=sin^{-1}(x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})\\
&(2) \cosh^{-1} x\pm \cosh^{-1} y= \cosh^{-1} \left(xy \pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\right)\\
&(3) \tanh^{-1} x \pm \tanh^{-1} y= \tanh^{-1} \left(\frac{x \pm y}{1 \pm xy}\right)\\
&(4) \sinh^{-1} x+ \cosh^{-1} y=
\begin{cases}
\sinh^{-1} (xy+\sqrt{1+x^2}\sqrt{y^2-1})\\
\cosh^{-1} (y\sqrt{1+x^2}+x\sqrt{y^2-1})
\end{cases}
\end{alignat}









<証明>

\((1) \sinh^{-1} x=α, \sinh^{-1} y=β\) とおくと 
   \( \sinh α=x,  \sinh β=y\) であるから 
\begin{alignat}{2}
\sinh (α \pm β)&= \sinh α \cosh β \pm \cosh α \sinh β \\
&= \sinh α\sqrt{1+ \sinh^2 β} \pm \sinh β\sqrt{1+ \sinh^2 α} \\
&= x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}
\end{alignat}\(α \pm β\) と右辺を取り替えます。 $$ α \pm β= \sinh^{-1} (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}) $$\(α\) と \(β\) を元に戻します。以上より$$ \sinh^{-1} x\pm \sinh^{-1} y= \sin^{-1} (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2}) $$







\((2) \cosh^{-1} x=α, \cosh^{-1} y=β\) とおくと 
   \( \cosh α=x, \cosh β=y\) であるから 
\begin{alignat}{2}
\cosh (α \pm β)&= \cosh α \cosh β \pm \sinh α \sinh β \\
&= \cosh α \cosh β \pm \sqrt{ \cosh^2 α-1} \sqrt{ \cosh^2 β-1} \\
&=xy \pm \sqrt{x^2-1} \sqrt{y^2-1}
\end{alignat}\(α \pm β\) と右辺を取り替えます。$$ α \pm β= \cosh^{-1} \left(xy \pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\right) $$\(α\) と \(β\) を元に戻します。以上より$$ \cosh^{-1} x\pm \cosh^{-1} y= \cosh^{-1} \left(xy \pm \sqrt{(x^2-1)(y^2-1)}\right) $$








\((3) \tanh^{-1} x=α, \tanh^{-1} y=β\) とおくと 
   \( \tanh α=x, \tanh β=y\) であるから 
$$ \tan (α \pm β)=\frac{ \tanh α \pm \tanh β} {1 \pm \tanh α \tanh β} =\frac{x \pm y} {1 \pm xy} $$\(α \pm β\) と右辺を取り替えます。$$ α \pm β= \tanh^{-1} \left(\frac{x \pm y}{1 \pm xy}\right) $$\(α\) と \(β\) を元に戻します。以上より$$ \tanh^{-1} x \pm \tanh^{-1} y= \tanh^{-1} \left(\frac{x \pm y}{1 \pm xy}\right) $$







\((4) \sinh^{-1} x=α,  \cosh^{-1} y=β\) とおくと 
   \( \sinh α=x, \cosh β=y\) であるから 
\begin{alignat}{2}
(A) \sinh (α+β)&= \sinh α \cosh β+ \cosh α \sinh β \\
&= \sinh α \cosh β+\sqrt{1+ \sinh^2 α}\sqrt{ \cosh^2 β-1} \\
&=xy+\sqrt{1+x^2}\sqrt{y^2-1}
\end{alignat}\(α+β\) と右辺を取り替えます。$$ α+β= \sinh^{-1} (xy+\sqrt{1+x^2}\sqrt{y^2-1}) $$\(α\) と \(β\) を元に戻します。以上より$$ \sinh^{-1} x+ \cosh^{-1} y= \sinh^{-1} (xy+\sqrt{1+x^2}\sqrt{y^2-1}) $$







\begin{alignat}{2}
(B) \cosh (α+β)&= \cosh α \cosh β+ \sinh α \sinh β \\
&=\cosh β\sqrt{1+ \sinh^2 α}+ \sinh α\sqrt{ \cosh^2 β-1} \\
&=y\sqrt{1+x^2}+x\sqrt{y^2-1}
\end{alignat}\(α+β\) と右辺を取り替えます。 $$ α+β= \cosh^{-1} (y\sqrt{1+x^2}+x\sqrt{y^2-1}) $$\(α\) と \(β\) を元に戻します。以上より$$ \sinh^{-1} x+ \cosh^{-1} y= \cosh^{-1}(y\sqrt{1+x^2}+x\sqrt{y^2-1}) $$

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