逆余接関数の積分計算

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \cot^{-1} axdx=x \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\log (1+a^2x^2)\\
&(2) \displaystyle\int x \cot^{-1} axdx=\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{x}{2a}+\frac{1}{2a^2} \cot^{-1} ax\\
&(3) \displaystyle\int x^2 \cot^{-1} axdx=\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\frac{x^2}{6a}-\frac{1}{6a^3} \log (1+a^2x^2)\\
&(4) \displaystyle\int x^m \cot^{-1} axdx=\frac{x^{m+1} \cot^{-1} ax}{m+1}\\
&          +\frac{a}{m+1}\displaystyle\int \frac{x^{m+1}}{1+a^2x^2}dx (m≠-1)
\end{alignat}



<証明>
(1)から(4)まで部分積分、分子に1を加えて引いて積分を切り離す、
分子に分母と同じ式を作る、を用いて解いています。
\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \cot^{-1} ax=x \tan^{-1} ax+\displaystyle\int x \cdot \frac{a}{1+a^2x^2}dx\\
&             =x \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \frac{2a^2x}{1+a^2x^2}dx\\
&             =x \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\log (1+a^2x^2)\\
&\\
&\\
&\\
&\\
&(2) \displaystyle\int x \cot^{-1} ax=\frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} ax+\displaystyle\int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{a}{1+a^2x^2}dx\\
&              =\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \frac{a^2x^2}{1+a^2x^2}dx\\
&              =\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \frac{1+a^2x^2-1}{1+a^2x^2}dx\\
&              =\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{1}{2a}\displaystyle\int \left(1-\frac{1}{1+a^2x^2}\right)dx\\
&              =\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{x}{2a}-\frac{1}{2a^2}\displaystyle\int \frac{a}{1+a^2x^2}dx\\
&              =\frac{1}{2}x^2 \cot^{-1} ax+\frac{x}{2a}+\frac{1}{2a^2} \cot^{-1} ax
&\\
&\\
&\\
&\\
&(3) \displaystyle\int x^2 \cot^{-1} ax=\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\displaystyle\int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{a}{1+a^2x^2}dx\\
&               =\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\frac{1}{3a}\displaystyle\int \frac{a^2x^3}{1+a^2x^2}dx\\
&               =\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\frac{1}{3a}\displaystyle\int \frac{x(1+a^2x^2)-x}{1+a^2x^2}dx\\
&               =\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\frac{1}{3a}\displaystyle\int xdx-\frac{1}{6a^3}\displaystyle\int \frac{2a^2x}{1+a^2x^2}dx\\
&               =\frac{1}{3}x^3 \cot^{-1} ax+\frac{x^2}{6a}-\frac{1}{6a^3} \log (1+a^2x^2)\\
&\\
&\\
&\\
&\\
&(4) \displaystyle\int x^m \cot^{-1} axdx=\frac{1}{m+1}x^{m+1} \cot^{-1} ax+\displaystyle\int \frac{1}{m+1}x^{m+1}\frac{a}{1+a^2x^2}dx\\
&                  =\frac{x^{m+1} \cot^{-1} ax}{m+1}+\frac{a}{m+1}\displaystyle\int \frac{x^{m+1}}{1+a^2x^2}dx
\end{alignat}

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