行列と平面図形

\((1)\) 連立 \(1\) 次方程式と行列

\(2\) 直線 \(\begin{cases} l:ax+by=p\\ m:cx+dy=q\end{cases}\) について \(A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) とすると

\((α)\) \(A\) が逆行列を持つとき \(1\) 点で交わる。(\(\mathrm{det}\, A≠0\))

\((β)\) \(A\) が逆行列を持たないとき平行。(\(\mathrm{det}\, A=0\))



\((2)\) \(1\) 次変換と三角形の面積

三角形 \(OPQ\) の頂点 \(P,Q\) を行列 \(A\) を掛けて移動した点をそれぞれ \(P’,Q’\) とする。

ここで新たに作られる三角形 \(OP’Q’\) と元の三角形の面積の関係は次式で表されます。$$\triangle OP’Q’=|\mathrm{det}\, A|\cdot \triangle OPQ$$













<証明>

\((1)\) 直線 \(l,m\) が平行(一致も含む)である条件は \(ad-bc=0\) であり、

これは行列 \(A\) が逆行列を持たないことを意味します。

また、左辺は \(2\) 次正方行列の行列式で表せるから$$\mathrm{det}\, A=ad-bc=0$$


これに対し、直線 \(l,m\) が平行でない( \(1\) 点で交わる)条件は \(ad-bc≠0\) であり、

これは行列 \(A\) が逆行列を持つことを意味します。

上記同様に式を書くと$$\mathrm{det}\, A=ad-bc≠0$$







\((2)\) 下の図のように移動前の点を \(P,Q\)、移動後の点を \(P’,Q’\) とします。

三角形 \(OPQ\) の面積は \(\triangle OPQ=\displaystyle \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\) です。

点 \(P,Q\) に行列 \(A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) を掛けます。(\(1\) 次変換を行います。)

点 \(P’\) について$$A\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax_1+by_1 \\ cx_1+dy_1 \end{pmatrix}$$点 \(Q’\) について$$A\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax_2+by_2 \\ cx_2+dy_2 \end{pmatrix}$$となるので、これを用いて \(\triangle OP’Q’\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
\triangle OP’Q’&=\frac{1}{2}|(ax_1+by_1)(cx_2+dy_2)-(cx_1+dy_1)(ax_2+by_2)|\\
&=\frac{1}{2}|acx_1x_2+adx_1y_2+bcx_2y_1+bdy_1y_2-(acx_1x_2+bcx_1y_2+adx_2y_1+bdy_1y_2)|\\
&=\frac{1}{2}|adx_1y_2+bcx_2y_1-bcx_1y_2-adx_2y_1|\\
&=\frac{1}{2}|(ad-bc)x_1y_2-(ad-bd)x_2y_1|\\
&=\frac{1}{2}|(ad-bc)(x_1y_2-x_2y_1)|\\
&=|ad-bc| \cdot \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=|\mathrm{det}\, A|\cdot \triangle OPQ
\end{alignat}以上より$$\triangle OP’Q’=|\mathrm{det}\, A|\cdot \triangle OPQ$$




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