半角の三角関数

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin \frac{A}{2}+ \cos \frac{A}{2}=\pm\sqrt{1+ \sin A} \\
&(2) \sin \frac{A}{2}- \cos \frac{A}{2}=\pm\sqrt{1- \sin A} \\
&(3) \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+ \sin A}-\sqrt{1- \sin A}\right) \\
&(4) \cos \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\left( \sqrt{1+ \sin A}+ \sqrt{1- \sin A}\right)
\end{alignat}    ただし \((3)(4)\) は \(\displaystyle -\frac{π}{2} \leq A \leq \frac{π}{2}\)




<証明>
\begin{alignat}{2}
&(1) \sin \frac{A}{2}+ \cos \frac{A}{2}=\pm\sqrt{\left( \sin \frac{A}{2}+ \cos \frac{A}{2}\right)^2} \\
&=\pm\sqrt{1+2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}=\pm\sqrt{1+ \sin A}
\end{alignat}\begin{alignat}{2}
&(2) \sin \frac{A}{2}- \cos \frac{A}{2}=\pm\sqrt{\left( \sin \frac{A}{2}- \cos \frac{A}{2}\right)^2} \\
&=\pm\sqrt{1-2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}=\pm\sqrt{1- \sin A}
\end{alignat}




\((3)(4)\) \(\displaystyle -\frac{π}{2} \leq A \leq \frac{π}{2} \) のとき
\begin{alignat}{2}
&\sin \frac{A}{2}+ \cos \frac{A}{2}=\sqrt{1+ \sin A} \cdots (1)\\
&\sin \frac{A}{2}- \cos \frac{A}{2}=-\sqrt{1- \sin A} \cdots (2)
\end{alignat}であるので \(\displaystyle \frac{(1)+(2)}{2}\) と \(\displaystyle \frac{(1)-(2)}{2}\) を計算すれば$$ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+ \sin A}-\sqrt{1- \sin A}\right) $$ $$ \cos \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\left( \sqrt{1+ \sin A}+ \sqrt{1-\sin A}\right)$$

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