ヘビィサイドの単位階段関数

\(x=a\) を境に、値が \(0\) から \(1\) へと変わる関数を
ヘビィサイドの単位階段関数といい、次式で表されます。
\begin{alignat}{2}
&u(x-a)=
\begin{cases}
1  (x \gt a)\\
0  (x \lt a)\\
\end{cases}
\end{alignat}

階段関数はデルタ関数と次のような関係があります。
(ディラックのデルタ関数の詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(1) u(x-a)=\displaystyle\int_{-\infty}^x δ(t-a)dt\\
&(2) \frac{d}{dx}u(x-a)=δ(x-a)\\
\end{alignat}

また、階段関数を次のように書いたとき
\begin{alignat}{2}
&H(x)=
\begin{cases}
1  (x \gt 0)\\
0  (x \lt 0)\\
\end{cases}   
&U(x)=
\begin{cases}
1  (x \geq 0)\\
0  (x \lt 0)\\
\end{cases}\\
&H_c(x)=
\begin{cases}
1  (x \gt 0)\\
c  (x=0)\\
0  (x \lt 0)\\
\end{cases}
\end{alignat}
次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(3) H_1(x)=U(x)\\
&(4) H_0(x)=1-U(-x)\\
&(5) H_c(x)=cH_1(x)+(1-c)H_0(x)\\
&(6) H_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{1+\mathrm{sgn} (x)}{2}\\
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) \(\displaystyle\int_{-\infty}^x δ(t-a)dt\) について

\(x \gt a\) のとき、すなわち、積分区間に \(a\) を含めば、積分値は \(1\) となり、
\(x \lt a\) のとき、すなわち、積分区間に \(a\) を含まなければ、積分値は \(0\) であるから、
これは \(u(x-a)\) に等しい。以上より$$u(x-a)=\displaystyle\int_{-\infty}^x δ(t-a)dt$$





\((2)\) \((1)\) の両辺を \(x\) で微分すれば、直ちに$$\frac{d}{dx}u(x-a)=δ(x-a)$$





\((3)\) \(H_c(x)\) において \(c=1\) とすれば
\begin{alignat}{2}
&H_1(x)=
\begin{cases}
1  (x \geq 0)\\
0  (x \lt 0)
\end{cases}
\end{alignat}であるから$$H_1(x)=U(x)$$







\((3)\) \(H_c(x)\) において \(c=0\) 、\(U(x)\) において \(x\) を \(-x\) に書き換えると
\begin{alignat}{2}
&H_0(x)=
\begin{cases}
1  (x \gt 0)\\
0  (x \leq 0)
\end{cases}   
&U(-x)=
\begin{cases}
0  (x \gt 0)\\
1  (x \leq 0)
\end{cases}
\end{alignat}よって \(1-U(-x)\) は
\begin{alignat}{2}
&1-U(-x)=
\begin{cases}
1  (x \gt 0)\\
0  (x \leq 0)
\end{cases}
\end{alignat}となるから$$H_0(x)=1-U(-x)$$







\((5)\) \(cH_1(x)\) と \((1-c)H_0(x)\) は次のように書けます。
\begin{alignat}{2}
&cH_1(x)=
\begin{cases}
c  (x \geq 0)\\
0  (x \lt 0)
\end{cases}   
&(1-c)H_0(x)=
\begin{cases}
1-c  (x \gt 0)\\
0  (x \leq 0)
\end{cases}
\end{alignat}これらを加えると
\begin{alignat}{2}
&cH_1(x)+(1-c)H_0(x)=
\begin{cases}
1  (x \gt 0)\\
c  (x=0)\\
0  (x \lt 0)
\end{cases}   
\end{alignat}以上より$$H_c(x)=cH_1(x)+(1-c)H_0(x)$$







\((6)\) \(H_c(x)\) において \(\displaystyle c=\frac{1}{2}\) とすると
\begin{alignat}{2}
&H_{\frac{1}{2}}(x)=
\begin{cases}
1   (x \gt 0)\\
\displaystyle \frac{1}{2}  (x=0)\\
0   (x \lt 0)\\
\end{cases}
\end{alignat}一方
\begin{alignat}{2}
&\frac{1+\mathrm{sgn} (x)}{2}=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{1+1}{2}=1   (x \gt 0)\\
\displaystyle \frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}  (x=0)\\
\displaystyle \frac{1-1}{2}=0   (x \lt 0)\\
\end{cases}
\end{alignat}となり、これらは一致するので$$H_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{1+\mathrm{sgn} (x)}{2}$$

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