変形3倍角の公式

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin 3θ=-4 \sin θ\cdot \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right) \sin \left(θ-\frac{π}{3}\right)\\
&(2) \cos 3θ= 4 \cos θ \cdot \cos \left(θ+\frac{π}{3}\right) \cos \left(θ-\frac{π}{3}\right)\\
&(3) \tan 3θ=- \tan θ\cdot \tan \left(θ+\frac{π}{3}\right) \tan \left(θ-\frac{π}{3}\right)
\end{alignat}                          






<証明>
\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin 3θ=3 \sin θ-4 \sin^3 θ \\
&= \sin θ(3-4 \sin^2 θ) \\
&= \sin θ\{3( \sin^2 θ+ \cos^2 θ)-4 \sin^2 θ\} \\
&= \sin θ(3 \cos^2 θ- \sin^2 θ)\\
&=- \sin θ( \sin^2 θ-3 \cos^2 θ) \\
&=- \sin θ( \sin θ+\sqrt{3} \cos θ)( \sin θ-\sqrt{3} \cos θ)\\
&=-4 \sin θ\left(\frac{1}{2} \sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ\right)\left(\frac{1}{2} \sin θ-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos θ\right)\\
&=-4 \sin θ\left( \sin θ \cos \frac{π}{3}+ \cos θ \sin \frac{π}{3}\right) \\
&    ×\left( \sin θ \cos \frac{π}{3}- \cos θ \sin \frac{π}{3}\right) \\
&=-4 \sin θ \cdot \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right) \sin \left(θ-\frac{π}{3}\right)
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&(2)  \cos 3θ=4 \cos^3 θ-3 \cos θ \\
&= \cos θ(4 \cos^2 θ-3) \\
&= \cos θ\{4 \cos^2 θ-3( \sin^2 θ+ \cos^2 θ)\} \\
&=\cos θ( \cos^2 θ-3 \sin^2 θ)\\
&= \cos θ( \cos θ-\sqrt{3} \sin θ)( \cos θ+\sqrt{3} \sin θ)\\
&=4 \cos θ\left(\frac{1}{2} \cos θ-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin θ\right)\left(\frac{1}{2} \cos θ+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin θ\right)\\
&=4 \cos θ\left( \cos θ \cos \frac{π}{3}- \sin θ \sin \frac{π}{3}\right) \\
&    ×\left( \cos θ \cos \frac{π}{3}+ \sin θ \sin \frac{π}{3}\right) \\
&=4 \cos θ \cdot \cos \left(θ+\frac{π}{3}\right) \cos \left(θ-\frac{π}{3}\right)
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&(3) \tan 3θ=\frac{ \sin 3θ}{ \cos 3θ} \\
&=\frac{-4 \sin θ \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right) \sin \left(θ-\frac{π}{3}\right)}{4 \cos θ \cos \left(θ+\frac{π}{3}\right) \cos \left(θ-\frac{π}{3}\right)}\\
&= – \tan θ\cdot \tan \left(θ+\frac{π}{3}\right) \tan \left(θ-\frac{π}{3}\right)
\end{alignat}

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