余角・θ+90・負角・θ+180・補角の三角比

\begin{alignat}{2}
&(1) \sin (90-θ)= \cos θ\\
&(2) \cos (90-θ)= \sin θ\\
&(3) \tan (90-θ)=\frac{1}{ \tan θ}\\
&(4) \sin (θ+90)=\cos θ\\
&(5) \cos (θ+90)=- \sin θ\\
&(6) \tan (θ+90)=-\frac{1}{\tan θ}\\
&(7) \sin (-θ)=- \sin θ\\
&(8) \cos (-θ)=\cos θ\\
&(9) \tan (-θ)=- \tan θ\\
&(10) \sin (θ+180)=- \sin θ\\
&(11) \cos (θ+180)=- \cos θ\\
&(12) \tan (θ+180)= \tan θ\\
&(13) \sin (180-θ)=\sin θ\\
&(14) \cos (180-θ)=- \cos θ\\
&(15) \tan (180-θ)=-\tan θ\\
\end{alignat}






<証明>

\((A)\) 余角の三角比

上の図において
$$ \sin θ=\frac{a}{b}, \cos θ=\frac{c}{b}, \tan θ=\frac{a}{c}$$であるから
\begin{alignat}{2}
&(1) \sin (90-θ)=\frac{c}{b}= \cos θ\\
&(2) \cos (90-θ)=\frac{a}{b}= \sin θ\\
&(3) \tan (90-θ)=\frac{c}{a}=\frac{1}{ \tan θ}
\end{alignat}





\((B)\) \(θ+180\) の三角比

上の図において

\( AB=c, BC=a, CA=b, \angle CAB=θ\)

\( \triangle ABC \equiv \triangle DEA 、\angle DAB=θ+90\)

\(\displaystyle \sin θ=\frac{a}{b}, \cos θ=\frac{c}{b}, \tan θ=\frac{a}{c}\)

(ただし \(AE\) の長さは負で取ることに注意)
\begin{alignat}{2}
&(4) \sin (θ+90)=\frac{DE}{DA}=\frac{AB}{CA}=\frac{c}{b}= \cos θ\\
&(5) \cos (θ+90)=\frac{-AE}{AD}=-\frac{BC}{CA}=-\frac{a}{b}=- \sin θ\\
&(6) \tan (θ+90)=\frac{DE}{-AE}=-\frac{AB}{CB}=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{ \tan θ}
\end{alignat}





\((C)\) 負角の三角比

上の図において

\( AB=c, BC=a, CA=b\)

\( \angle CAB=\angle DAB=θ, \triangle ABC \equiv \triangle ABD\)

\(\displaystyle \sin θ=\frac{a}{b}, \cos θ=\frac{c}{b}, \tan θ=\frac{a}{c} \)

(ただし \(BD\) の長さは負で取ることに注意)

\begin{alignat}{2}
&(7) \sin (-θ)=\frac{-BD}{DA}=\frac{BC}{CA}=-\frac{a}{b}=-\sin θ\\
&(8) \cos (-θ)=\frac{AB}{DA}=\frac{AB}{CA}=\frac{c}{b}=\cos θ\\
&(9) \tan (-θ)=\frac{-BD}{AB}=-\frac{BC}{AB}=-\frac{a}{c}=- \tan θ
\end{alignat}





\((D)\) \(θ+180\) の三角比

上の図において

\( AB=c, BC=a, CA=b, \angle CAB=θ\)

\( \triangle ABC \equiv \triangle ADE, \angle BAE=θ+180\)

\(\displaystyle \sin θ=\frac{a}{b}, \cos θ=\frac{c}{b}, \tan θ=\frac{a}{c} \)

(ただし \(AD\) と \(DE\) の長さは負で取ることに注意)

\begin{alignat}{2}
&(10) \sin (θ+180)=\frac{-DE}{EA}=-\frac{BC}{CA}=-\frac{a}{b}=- \sin θ\\
&(11) \cos (θ+180)=\frac{-AD}{EA}=-\frac{AB}{CA}=-\frac{c}{b}=-\cos θ\\
&(12) \tan (θ+180)=\frac{-DE}{-AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}= \tan θ
\end{alignat}





\((E)\) 補角の三角比

上の図において

\( AB=c, BC=a, CA=b, \angle CAB=θ\)

\( \triangle ABC \equiv \triangle ADE, \angle EAB=180-θ\)

\(\displaystyle \sin θ=\frac{a}{b}, \cos θ=\frac{c}{b}, \tan θ=\frac{a}{c} \)

(ただし \(AD\)の長さは負で取ることに注意)

\begin{alignat}{2}
&(13) \sin (180-θ)=\frac{DE}{EA}=\frac{BC}{CA}=\frac{a}{b}= \sin θ\\
&(14) \cos (180-θ)=\frac{-AD}{EA}=-\frac{AB}{CA}=-\frac{c}{b}=\cos θ\\
&(15)\tan (180-θ)=\frac{DE}{-AD}=-\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}=- \tan θ\\
\end{alignat}

“余角・θ+90・負角・θ+180・補角の三角比” への1件の返信

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です