不完全ガンマ関数の級数表示

\begin{alignat}{2}
&(1) γ(n,a)=\displaystyle\int_0^a t^{n-1}e^{-t}dt=(n-1)!\left(1-e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\right)\\
&(2) Γ(n,a)=\displaystyle\int_a^{\infty} t^{n-1}e^{-t}dt=(n-1)!e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\\
\end{alignat}
ただし \(a \gt 0,\,n \in \mathrm{N}\)







<証明>

\((1)\) 部分積分を繰り返します。
\begin{alignat}{2}
γ(n,a)&=\displaystyle\int_0^a t^{n-1}e^{-t}dt=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^a +(n-1)\displaystyle\int_0^a t^{n-2}e^{-t}dt\\
&=-e^{-a} a^{n-1} +(n-1)\displaystyle\int_0^a t^{n-2} e^{-t}dt\\
&=-e^{-a} a^{n-1} +(n-1)\left\{[-t^{n-2}e^{-t}]_0^a +(n-2)\displaystyle\int_0^a t^{n-3}e^{-t}dt\right\}\\
&=-e^{-a}a^{n-1} +(n-1)\left\{-e^{-a}a^{n-2}+(n-2)\displaystyle\int_0^a t^{n-3}e^{-t}dt\right\}\\
&=-e^{-a}a^{n-1}-(n-1)e^{-a}a^{n-2}+(n-1)(n-2)\displaystyle\int_0^a t^{n-3}e^{-t}dt\\
&\\
&       \cdots\\
&\\
&=-e^{-a}a^{n-1}-(n-1)e^{-a}a^{n-2}-(n-1)(n-2)e^{-a}a^{n-3}- \cdots +(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \displaystyle\int_0^a e^{-t}dt
\end{alignat}\(-e^{-a}(n-1)!\) で括ります。$$=-e^{-a}(n-1)!\left\{\frac{a^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a^{n-2}}{(n-2)!}+ \cdots +\frac{a^2}{2!}+\frac{a}{1!}-e^a \displaystyle\int_0^a e^{-t}dt\right\}$$右の積分は$$\displaystyle\int_0^a e^{-t} dt=[-e^{-t}]_0^a=-e^{-a}+1$$であるので
\begin{alignat}{2}
γ(n,a)&=-e^{-a}(n-1)!\left\{\frac{a^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a^{n-2}}{(n-2)!}+ \cdots +\frac{a^2}{2!}+\frac{a}{1!}-e^a(-e^{-a}+1)\right\}\\
&=-e^{-a}(n-1)!\left\{\frac{a^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{a^{n-2}}{(n-2)!}+ \cdots +\frac{a^2}{2!}+\frac{a}{1!}+1-e^a\right\}\\
&=(n-1)!-e^{-a}(n-1)!\left\{1+\frac{a}{1!}+\frac{a^2}{2!}+ \cdots +\frac{a^{n-2}}{(n-2)!}+\frac{a^{n-1}}{(n-1)!}\right\}\\
&=(n-1)!-e^{-a} (n-1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\\
&=(n-1)!\left(1-e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\right)
\end{alignat}以上より$$γ(n,a)=\displaystyle\int_0^a t^{n-1}e^{-t}dt=(n-1)!\left(1-e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\right)$$








\((2)\) \((1)\) の結果を用います。
\begin{alignat}{2}
Γ(n,a)&=Γ(n)-γ(n,a)=(n-1)!-(n-1)!\left(1-e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\right)\\
&=(n-1)!-(n-1)!+(n-1)!e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}=(n-1)!e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}\\
\end{alignat}以上より$$Γ(n,a)=(n-1)!e^{-a} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{a^k}{k!}$$

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