不完全ガンマ関数

不完全ガンマ関数は、通常のガンマ関数の積分区間を2つに分けたものとして、以下の式で表されます。

第1種不完全ガンマ関数$$γ(a,x)=\displaystyle\int_0^x t^{a-1}e^{-t}dt$$ 第2種不完全ガンマ関数$$Γ(a,x)=\displaystyle\int_x^{\infty} t^{a-1}e^{-t}dt$$ すなわち$$γ(a,x)+Γ(a,x)=Γ(a)$$

このとき以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1) γ(a+1,x)=aγ(a,x)-x^ae^{-x}\\
&(2) Γ(a+1,x)=aΓ(a,x)+x^ae^{-x}\\
&(3) Γ(a,0)=Γ(a)\\
&(4) \displaystyle\lim_{x \to \infty}γ(a.x)=Γ(a)\\
&(5) Γ(0,x)=-\mathrm{Ei}(-x) (x \gt 0)\\
&(6) Γ\left(\frac{1}{2},x\right)=\sqrt{π}\mathrm{erfc}
(\sqrt{π})\\
&(7) γ\left(\frac{1}{2},x\right)=\sqrt{π}\mathrm{erf}(\sqrt{π})\\
&(8) Γ(1,x)=e^{-x}\\
&(9) γ(1,x)=1-e^{-x}
\end{alignat}











<証明>
\begin{alignat}{2}
&(1) γ(a+1,x)=\displaystyle\int_0^x t^ae^{-t}dt=[-t^ae^{-t}]_0^x+\displaystyle\int_0^x at^{a-1}e^{-t}dt\\
&            =-x^ae^{-x}+a\displaystyle\int_0^x t^{a-1}e^{-t}dt=aγ(a,x)-x^ae^{-x} \\
&\\
&\\
&(2) Γ(a+1,x)=\displaystyle\int_x^{\infty} t^ae^{-t}dt=[-t^ae^{-t}]_0^x+\displaystyle\int_x^{\infty} at^{a-1}e^{-t}dt\\
&            =x^ae^{-x}+a\displaystyle\int_x^{\infty} t^{a-1}e^{-t}dt=aΓ(a,x)+x^ae^{-x} \\
&\\
&\\
&(3) Γ(a,0)=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{a-1}e^{-t}dt=Γ(a)\\
&\\
&\\
&(4) \displaystyle\lim_{x \to \infty}γ(a.x)= \displaystyle\lim_{x \to \infty} \displaystyle\int_0^x t^{a-1}e^{-t}dt= \displaystyle\int_0^{\infty} t^{a-1}e^{-t}dt=Γ(a)
&\\
&\\
&(5) Γ(0,x)=\displaystyle\int_x^{\infty} t^{-1}e^{-t}dt=\displaystyle\int_x^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt=-Ei(-x)\\
\end{alignat}

\((6)(7)\) では途中 \(t=s^2\) と置きます。\((dt=2sds)\)
\begin{alignat}{2}
&(6)  Γ\left(\frac{1}{2},x\right)=\displaystyle\int_x^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt=\displaystyle\int_x^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\
&           =\displaystyle\int_\sqrt{x}^{\infty} s^{-1}e^{-s^2}2sds=2\displaystyle\int_\sqrt{x}^{\infty} e^{-s^2}ds\\
&           =2 \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\mathrm{erfc}(\sqrt{x})=\sqrt{π} \mathrm{erfc}(\sqrt{x})
&\\
&\\
&(7) γ\left(\frac{1}{2},x\right)=\displaystyle\int_0^x t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt=\displaystyle\int_0^x t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\
&           =\displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} s^{-1}e^{-s^2}2sds=2\displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} e^{-s^2}ds\\
&           =2 \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\mathrm{erf}
(\sqrt{x})=\sqrt{π} \mathrm{erf}(\sqrt{x})
&\\
&\\
&\\
&(8) Γ(1,x)=\displaystyle\int_x^{\infty} e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_x^{\infty}=e^{-x}\\
&\\
&\\
&(9) γ(1,x)=\displaystyle\int_0^x e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_0^x=-e^{-x}+1=1-e^{-x}
\end{alignat}

“不完全ガンマ関数” への1件の返信

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