負の二項定理

負の二項定理は、通常の二項定理の \(n\) 乗を \(-n\) 乗へと代えたものです。
このとき以下の式が成立します。
\begin{alignat}{2}
&(1) {}_{-n} \mathrm{C}_k=(-1)^k {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k\\
&(2) (1+x)^{-n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k (-x)^k\\
\end{alignat}










<証明>
\((1)\) 通常の組合せの式 \({}_n \mathrm{C}_k\) の \(n\) に \(-n\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&{}_n \mathrm{C}_k=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
&{}_{-n} \mathrm{C}_k=\frac{-n(-n-1)(-n-2) \cdots (-n-k+1)}{k(k-1)(k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}\\
\end{alignat} 分子は \((-1)\) が \(k\) 回掛かっていますので
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^k\frac{n(n+1)(n+2) \cdots (n+k-1)}{k(k-1)(k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 }\\
&=(-1)^k\frac{(n+k-1)(n+k-2) \cdots (n+1)n}{k(k-1)(k-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 }=(-1)^k {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k
\end{alignat}以上より、次式が成り立ちます。$${}_{-n} \mathrm{C}_k=(-1)^k {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k$$





\((2)\) \((1+x)^n\) の級数展開をシグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+ \cdots\\
&       ={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1 x+ {}_n \mathrm{C}_2 x^2+ {}_n \mathrm{C}_3 x^3+ \cdots =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} {}_n \mathrm{C}_k x^k
\end{alignat}\(n\) を \(-n\) にします。 $$(1+x)^{-n} =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} {}_{-n} \mathrm{C}_k x^k$$\((1)\) で得た式を代入します。$$ (1+x)^{-n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k{}_{n+k-1} \mathrm{C}_k x^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k (-x)^k $$また次のように \(x\) を \(-x\) としても良いです。 $$ (1-x)^{-n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} {}_{n+k-1} \mathrm{C}_k x^k $$

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