標準正規分布

標準正規分布の確率密度関数は以下の式で表されます。$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}} ( -\infty \lt x \lt \infty )$$ また、期待値及び分散は$$E[X]=0, V[X]=1$$モーメント母関数と累積分布関数は$$M(θ)=e^{\frac{θ^2}{2}}, F(x)=\frac{1}{2}\left\{1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}$$



<証明>
(1) 標準正規分布を導出します。
標準正規分布は正規分布を正規化したものですので、正規分布を$$g(t)=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}}$$と置いて \(\displaystyle \frac{t-μ}{σ}=x\) で変数変換を行います。\((dt=σdx)\)
求める関数(標準正規分布)は \(f(x)\) とします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} g(t)dt=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{(t-μ)^2}{2σ^2}}dt\\
&          =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}e^{-\frac{x^2}{2}}σdx= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx
\end{alignat} よって、標準正規分布の確率密度関数は次式となります。 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}} ( -\infty \lt x \lt \infty )$$



(2) 全確率「1」を確認します。ガウス積分を用います。$$ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2π}}\cdot \sqrt{2π}=1 $$




(3) 期待値を求めます。下記の通り、被積分関数が奇関数です。
\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-\frac{x^2}{2}}dx=0
\end{alignat}




(4) 分散を求めます。期待値が \(0\) ですから \(V[X]=E[X^2]\) です。
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
&    =\frac{2}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_0^{\infty} x^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx=-\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} x(e^{-\frac{x^2}{2}})’dx\\
&    =-\sqrt{\frac{2}{π}}\left\{[xe^{-\frac{x^2}{2}}]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right\}\\
&    =\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{\frac{2}{π}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2π}=1
\end{alignat}



(5) モーメント母関数を求めます。$$M(θ)=E[e^{θX}]=\displaystyle\int_{\infty}^{\infty} e^{θx}\cdot \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{\sqrt{2π}} \displaystyle\int_{\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}+θx}dx$$\(e\) の指数部分を平方完成します。
\begin{alignat}{2}
&-\frac{x^2}{2}+θx=-\frac{1}{2}(x^2-2θx)\\
&         =-\frac{1}{2}(x^2-2θx+θ^2)+\frac{θ^2}{2}\\
&         =-\frac{1}{2}(x-θ)^2+\frac{θ^2}{2}
\end{alignat}となります。元の式に戻り \(x-θ=t\) 置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x-θ)^2+\frac{θ^2}{2}}dx\\
&=\frac{e^{\frac{θ^2}{2}}}{\sqrt{2π}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{t^2}{2}}dt =\frac{e^{\frac{θ^2}{2}}}{\sqrt{2π}} \cdot \sqrt{2π}=e^{\frac{θ^2}{2}}
\end{alignat}



(6) 累積分布関数を求めます。
\begin{alignat}{2}
&F(x)=P(X \leq x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\\
&    =\frac{1}{\sqrt{2π}}\left(\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^{-\frac{x^2}{2}}dx+\displaystyle\int_0^x e^{-\frac{x^2}{2}}dx\right)\\
\end{alignat}右の積分で \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}x=t\) と置きます。\((dx=\sqrt{2}dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{\sqrt{2π}}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{x}{\sqrt{2}}} e^{-t^2}\sqrt{2}dt\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2π}}\left(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2π}+\sqrt{2} \displaystyle\int_0^{\frac{x}{\sqrt{2}}} e^{-t^2}dt\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{2π}}\left\{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2π}+ \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}
\end{alignat}

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