一般化フレシェ分布

一般化フレシェ分布の確率密度関数は以下の式で表されます。$$f(x)=\frac{α}{s}\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α-1} \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\} (x \gt m)$$ また、期待値及び分散は
\begin{alignat}{2}
&E[X]=m+sΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)\\
&V[X]=s^2\left[Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)-\left\{Γ\left(1-\frac{1}{α}\right)\right\}^2\right]
\end{alignat} 累積分布関数は$$F(x)= \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\}  ( x \gt m )$$







<証明>

\((1)\) 全確率が「1」であることを確認します。$$\displaystyle\int_m^{\infty} f(x)dx=\displaystyle\int_m^{\infty} \frac{α}{s}\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α-1} \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\} dx $$\(\displaystyle \frac{x-m}{s}=p\) とおくと \(\displaystyle \frac{1}{s}dx=dp\) となりますから
\(( x-m=sp, x=sp+m )\) $$=\displaystyle\int_0^{\infty} αp^{-α-1} \exp (-p^{-α})dp$$ さらに \(p^{-α}=q\) と置くと \(p=q^{-\frac{1}{α}}, -αp^{-α-1}dp=dq\) となりますから
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-q}(-αp^{-α-1})dp\\
&=-\displaystyle\int_{\infty}^0 e^{-q}dq=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-q}dq =\left[-e^{-q}\right]_0^{\infty}=1
\end{alignat}







\((2)\) 期待値を求めます。\((1)\) と同様に置き換えます。
\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_m^{\infty}xf(x)dx=\displaystyle\int_m^{\infty} x \cdot \frac{α}{s}\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α-1} \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\} dx\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} (sp+m)αp^{-α-1}exp(-p^{-α})dp\\
&    =-\displaystyle\int_0^{\infty} (sq^{-\frac{1}{α}}+m)e^{-q}(-αp^{-α-1})dp\\
&    =-\displaystyle\int_{\infty}^0 (sq^{-\frac{1}{α}}+m)e^{-q}dq\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} (sq^{-\frac{1}{α}}+m)e^{-q}dq\\
&    =m\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-q}dq+s \displaystyle\int_0^{\infty} q^{-\frac{1}{α}}e^{-q}dq\\
&    =m\left[-e^{-q}\right]_0^{\infty}+s\displaystyle\int_0^{\infty} q^{\left(1-\frac{1}{α}\right)-1}e^{-q}dq\\
&    =m+sΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)
\end{alignat}







\((3)\) 分散を求めるために、まず \(E[X^2]\) を求めます 。
  \((1)\) と同様に置き換えます。
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=\displaystyle\int_m^{\infty}x^2f(x)dx=\displaystyle\int_m^{\infty} x^2 \cdot \frac{α}{s}\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α-1} \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\} dx\\
&     =\displaystyle\int_0^{\infty} (sp+m)^2αp^{-α-1} \exp (-p^{-α})dp\\
&     =-\displaystyle\int_0^{\infty} (sq^{-\frac{1}{α}}+m)^2e^{-q}(-αp^{-α-1})dp\\
&     =-\displaystyle\int_{\infty}^0 (sq^{-\frac{1}{α}}+m)^2e^{-q}dq\\
&     =\displaystyle\int_0^{\infty} (sq^{-\frac{1}{α}}+m)^2e^{-q}dq\\
&     =\displaystyle\int_0^{\infty} (s^2q^{-\frac{2}{α}}+2msq^{-\frac{1}{α}}+m^2)e^{-q}dq\\
&     =m^2\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-q}dq+2ms \displaystyle\int_0^{\infty} q^{-\frac{1}{α}}e^{-q}dq+s^2 \displaystyle\int_0^{\infty} q^{-\frac{2}{α}}e^{-q}dq\\
&     =m^2\left[-e^{-α}\right]_0^{\infty}+2ms \displaystyle\int_0^{\infty} q^{\left(1-\frac{1}{α}\right)-1}e^{-q}dq+s^2 \displaystyle\int_0^{\infty} q^{\left(1-\frac{2}{α}\right)-1}e^{-q}dq\\
&     =m^2+2msΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)+s^2Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)
\end{alignat} よって、分散 \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2\\
&    =m^2+2msΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)+s^2Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)-\left\{m+sΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)\right\}^2\\
&    =m^2+2msΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)+s^2Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)\\
&         -m^2-2msΓ\left(1-\frac{1}{α}\right)-s^2\left\{Γ\left(1-\frac{1}{α}\right)\right\}^2\\
&    =s^2Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)-s^2\left\{Γ\left(1-\frac{1}{α}\right)\right\}^2\\
&    = s^2\left[Γ\left(1-\frac{2}{α}\right)-\left\{Γ\left(1-\frac{1}{α}\right)\right\}^2\right]
\end{alignat}






\((4)\) 累積分布関数を求めます。
\begin{alignat}{2}
&F(x)=P(X \leq x)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)dt\\
&    =\displaystyle\int_m^x \frac{α}{s}\left(\frac{t-m}{s}\right)^{-α-1} \exp \left\{-\left(\frac{t-m}{s}\right)^{-α}\right\}dt
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{t-m}{s}=r\) とおくと \(\displaystyle \frac{1}{s}dt=dr\) となりますから $$=\displaystyle\int_0^{\frac{x-m}{s}}αr^{-α-1} \exp (-r^{-α})dr$$ さらに \(r^{-α}=u\) と置くと \(-αr^{-α-1}dr=du\) となりますから
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_0^{\frac{x-m}{s}} e^{-u}(-αr^{-α-1})dr\\
&=-\displaystyle\int_{\infty}^{\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}} e^{-u}du=\displaystyle\int_{\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}}^{\infty} e^{-u}du\\
&=\left[-e^{-u}\right]_{\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}}^{\infty}= \exp \left\{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-α}\right\}
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です