一般化パレート分布

一般化パレート分布の確率密度関数は以下の式で表されます。$$f(x)=\frac{1}{σ}\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}-1} (x \gt μ)$$ また、期待値及び分散は
\begin{alignat}{2}
&E[X]=μ+\frac{σ}{1-ξ}\\
&V[X]=\frac{σ^2}{(1-ξ)^2(1-2ξ)}
\end{alignat} 累積分布関数は$$F(x)=1-\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}} ( x \gt μ )$$








<証明>

\((1)\) 全確率が「1」であることを確認します。$$\displaystyle\int_μ^{\infty} f(x)dx=\displaystyle\int_μ^{\infty} \frac{1}{σ}\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}-1} dx $$\(\displaystyle \frac{x-μ}{σ}=t\) とおくと \(\displaystyle \frac{1}{σ}dx=dt\) となりますから
\(( x-μ=σt, x=σt+μ )\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} (1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt=\left[-ξ(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}\cdot \frac{1}{ξ}\right]_0^{\infty}\\
&=\left[-(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}\right]_0^{\infty}=1\\
\end{alignat}



\((2)\) 期待値を求めます。\((1)\) と同様に置き換えます。
\begin{alignat}{2}
&E[X]=\displaystyle\int_μ^{\infty} xf(x)dx=\displaystyle\int_μ^{\infty} x \cdot \frac{1}{σ}\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}-1} dx\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} (σt+μ)(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
&    =μ\displaystyle\int_0^{\infty} (1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt+σ \displaystyle\int_0^{\infty} t(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
&    =μ\left[-(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}\right]_0^{\infty}+\left\{\left[-t(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} (1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}dt\right\}\\
&    =μ+σ\displaystyle\int_0^{\infty} (1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}dt\\
&    =μ+σ\left[\frac{1}{-\frac{1}{ξ}+1}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+1}\cdot \frac{1}{ξ}\right]_0^{\infty}\\
&    =μ+σ\left[\frac{-1}{1-ξ}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+1}\right]_0^{\infty}\\
&    =μ+\frac{σ}{1-ξ}
\end{alignat}







\((3)\) 分散を求めるために、まず \(E[X^2]\) を求めます 。
  \((1)\) と同様に置き換えます。
\begin{alignat}{2}
&E[X^2]=\displaystyle\int_μ^{\infty} x^2f(x)dx=\displaystyle\int_μ^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{σ}\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}-1} dx\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} (σt+μ)^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
&    =\displaystyle\int_0^{\infty} (σ^2t^2+2σμt+μ^2)^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
&    =μ^2\displaystyle\int_0^{\infty} (1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt+2σμ \displaystyle\int_0^{\infty} t(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt+σ^2 \displaystyle\int_0^{\infty} t^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
\end{alignat}左と真ん中の積分は(1)で計算していますので$$E[X^2]=μ^2+\frac{2σμ}{1-ξ}+σ^2 \displaystyle\int_0^{\infty} t^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt$$ 右の積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} t^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}-1}dt\\
&=\left[-t^2(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty}2t(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}dt\\
&=2\displaystyle\int_0^{\infty}t(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}}dt\\
&=2\left\{\left[t \cdot \frac{1}{-\frac{1}{ξ}+1}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+1 } \cdot \frac{1}{ξ} \right]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{-\frac{1}{ξ}+1}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+1} \cdot \frac{1}{ξ} \right\} dt\\
&=\frac{2}{1-ξ} \displaystyle\int_0^{\infty}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+1}dt\\
&=\frac{2}{1-ξ}\left[\frac{1}{-\frac{1}{ξ}+2}(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+2} \cdot \frac{1}{ξ} \right]_0^{\infty}\\
&=\frac{2}{1-ξ} \cdot \frac{1}{2ξ-1}\left[(1+ξt)^{-\frac{1}{ξ}+2}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{2}{(1-ξ)(1-2ξ)}
\end{alignat}となりますので \(E[X^2]\) は $$E[X^2]=μ^2+\frac{2σμ}{1-ξ}+ \frac{2σ^2}{(1-ξ)(1-2ξ)} $$ 以上より分散 \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2\\
&    =μ^2+\frac{2σμ}{1-ξ}+ \frac{2σ^2}{(1-ξ)(1-2ξ)}-\left(μ+\frac{σ}{1-ξ}\right)^2\\
&    = μ^2+\frac{2σμ}{1-ξ}+\frac{2σ^2}{(1-ξ)(1-2ξ)}-μ^2-\frac{2σμ}{1-ξ}-\frac{σ^2}{(1-ξ)^2}\\
&    =\frac{2σ^2}{(1-ξ)(1-2ξ)}-\frac{σ^2}{(1-ξ)^2}\\
&    =\frac{2(1-ξ)-(1-2ξ)}{(1-ξ)^2(1-2ξ)}\cdot σ^2=\frac{σ^2}{(1-ξ)^2(1-2ξ)}
\end{alignat}





\((4)\) 累積分布関数を求めます。
\begin{alignat}{2}
&F(x)=P(X \leq x)=\displaystyle\int_μ^x f(t)dt\\
&    =\displaystyle\int_μ^x \frac{1}{σ}\left\{1+\frac{ξ(t-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}-1}dt
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{t-μ}{σ}=u\) とおくと \(\displaystyle \frac{1}{σ}dt=du\) となりますから
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\frac{x-μ}{σ}} (1+ξu)^{-\frac{1}{ξ}-1}du
&=\left[-(1+ξu)^{-\frac{1}{ξ}}\right]_0^{\frac{x-μ}{σ}}\\
&=1-\left\{1+\frac{ξ(x-μ)}{σ}\right\}^{-\frac{1}{ξ}}
\end{alignat}

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