Σ[k=1,∞](-1)^{k-1}sinkx/k^5などの等式

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^2}=\frac{π^2}{12}-\frac{x^2}{4}\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^3}=\frac{π^2x}{12}-\frac{x^3}{12}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^4}=\frac{7π^4}{720}-\frac{π^2x^2}{24}+\frac{x^4}{48}\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^5}=\frac{7π^4x}{720}-\frac{π^2x^3}{72}+\frac{x^5}{240}\\
\end{alignat}ただし、全て \(-π \lt x \lt π\)









<証明>

\((1)\) \(f(x)=x^2 (-π \lt x \lt π)\) をフーリエ級数展開します。$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos kx$$\(a_0, a_k\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&a_0=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π x^2 dx=\frac{2}{π}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^π=\frac{2}{3}π^2\\
&\\
&a_k=\frac{2}{π}\displaystyle\int_0^π x^2 \cos kxdx\\
&  =\frac{2}{π}\left(\left[\frac{x^2}{k}\sin kx\right]_0^π-\displaystyle\int_0^π\frac{2x}{k}\sin kxdx\right)\\
&  =-\frac{4}{kπ}\displaystyle\int_0^π x \sin kxdx\\
&  =-\frac{4}{kπ}\left(\left[-\frac{x}{k}\cos kx\right]_0^π+\frac{1}{k}\displaystyle\int_0^π\cos kxdx\right)\\
&  =-\frac{4}{kπ}\left\{\frac{π(-1)^{k+1}}{k}+\frac{1}{k^2}[\sin kx]_0^π\right\}=\frac{4(-1)^k}{k^2}\\
\end{alignat}よって$$f(x)=x^2=\frac{π^2}{3}+4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}\cos kx$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^2}=\frac{π^2}{12}-\frac{x^2}{4}$$







\((2)\) \((1)\) の式について$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^2}=\frac{1}{12}(π^2-3x^3)$$両辺を項別積分します。$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\displaystyle\int_{-π}^x \cos kt dt=\frac{1}{12}\displaystyle\int_{-π}^x (π^2-3t^3)dt$$左辺の積分は$$\displaystyle\int_{-π}^x \cos kt dt=\left[\frac{1}{k}\sin kt\right]_{-π}^x=\frac{1}{k}\sin kt$$右辺の積分は$$\displaystyle\int_{-π}^x (π^2-3t^3)dt=[π^2t-t^3]_{-π}^x=π^2x-x^3-(-π^3+π^3)=π^2x-x^3$$となるので、以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^3}=\frac{π^2x}{12}-\frac{x^3}{12}$$







\((3)\) \((2)\) の式について$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^3}=\frac{1}{12}(π^2x-x^3)$$両辺を項別積分します。$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} \displaystyle\int_{-π}^x \sin ktdt=\frac{1}{12}\displaystyle\int_{-π}^x (π^2t-t^3)dt$$左辺の積分は$$\displaystyle\int_{-π}^x \sin kt dt=\left[-\frac{1}{k}\cos kt \right]_{-π}^x=-\frac{1}{k}\cos kx+\frac{1}{k}\cos kπ=-\frac{1}{k}\cos kx+\frac{(-1)^k}{k}$$右辺の積分は$$\displaystyle\int_{-π}^x (π^2t-t^3)dt=\left[\frac{π^2t^2}{2}-\frac{t^4}{4}\right]_{-π}^x=\frac{π^2x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{π^4}{2}+\frac{π^4}{4}=\frac{π^2x^2}{2}-\frac{x^4}{4}-\frac{π^4}{4}$$となるので、項別積分後の式は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cos kx }{k^4}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4}=\frac{π^2x^2}{24}-\frac{x^4}{48}-\frac{π^4}{48}\\
&        \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cos kx }{k^4}=\frac{π^2x^2}{24}-\frac{x^4}{48}-\frac{π^4}{48}+\frac{π^4}{90}\\
&        \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cos kx }{k^4}=\frac{π^2x^2}{24}-\frac{x^4}{48}-\frac{7π^4}{720}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^4}=\frac{7π^4}{720}-\frac{π^2x^2}{24}+\frac{x^4}{48}$$








\((4)\) \((3)\) の式より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\cos kx}{k^4}=\frac{1}{720}(7π^4-30π-2t^2+15t^4)$$両辺を項別積分します。$$\displaystyle\sum_{k=1} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4}\displaystyle\int_{-π}^x \cos ktdt=\frac{1}{720}\displaystyle\int_{-π}^x (7π^4-30π^2t^2+15t^4)dt$$左辺の積分は$$\displaystyle\int_{-π}^x \cos kt dt=\left[\frac{1}{k}\sin kt\right]_{-π}^x=\frac{1}{k}\sin kt$$右辺の積分は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{-π}^x (7π^4-30π^2t^2+15t^4)dt=\left[7π^4t-10π^2t^3+3t^5\right]_{-π}^x=7π^4x-10π^2x^3+3x^5\\
\end{alignat}となるので、以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^5}=\frac{7π^4x}{720}-\frac{π^2x^3}{72}+\frac{x^5}{240}$$

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