カージオイド

カージオイド…直径 \(a\) の円の外側を直径 \(a\) の円が滑らずに転がるときの一点の軌跡。


\((1)\) 極座標 \(r=a(1+ \cos θ)\)

\((2)\) 直交座標 \((x^2+y^2)(x^2+y^2-2ax)-ay^2=0\)

\((3)\) パラメータ表示 
\begin{cases}
x=a(1+ \cos θ) \cos θ\\
y=a(1+ \cos θ) \sin θ\\
\end{cases}
\((4)\) 曲線によって囲まれる面積 \(\displaystyle S=\frac{3}{2}πa^2\)

\((5)\) 曲線の長さ \(L=8a\)

\((6)\) \(x\) 軸回りに回転させたときの立体の体積 \(\displaystyle V=\frac{8}{3}πa^3\)










\((1)(2)\) 極座標・パラメータ表示の導出

上図について。
点 \(A\) を中心とする円は固定された円。その周りを図の右下の円が滑らずに転がり、\(θ\) だけ動いた後には上の位置に来ます。
ここで追う点は点 \(Q\) です。点 \(Q\) の移動後は点 \(Q_1\) です。
つまり \(\overrightarrow{OQ_1}\) を求めることになります。
$$ \overrightarrow{OQ_1}=\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ_1}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{a}{2} \\ o \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \cos θ \\ a \sin θ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{a}{2} \cos 2θ \\ \frac{a}{2} \sin 2θ \end{pmatrix} $$\begin{alignat}{2}
&x=\frac{a}{2}+a \cos θ+\frac{a}{2} \cos 2θ=\frac{a}{2}(1+ \cos 2θ)+a \cos θ\\
& =\frac{a}{2} \cdot 2 \cos^2 θ+a \cos θ=a \cos^2 θ+a \cos θ\\
& =a(1+ \cos θ) \cos θ
\end{alignat} \begin{alignat}{2}
&y=a \sin θ+\frac{a}{2} \sin 2θ=a \sin θ+a \sin θ \cos θ\\
& =a(1+ \cos θ) \sin θ \end{alignat}となってパラメータ表示が求められるので、カージオイドの極座標表示は$$ r=a(1+ \cos θ)$$






\((3)\) 極座標から直交座標を求める。
$$x=r \cos θ   \cos θ=\frac{x}{r}$$$$r=a\left(1+\frac{x}{r}\right)   r^2=a(r+x)$$$$x^2+y^2=a(\sqrt{x^2+y^2}+x)$$$$x^2+y^2-ax=a\sqrt{x^2+y^2}$$$$(x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)$$$$(x^2+y^2)^2-2ax(x^2+y^2)+a^2x^2=a^2x^2+a^2y^2$$$$(x^2+y^2)(x^2+y^2-2ax)-a^2y^2=0$$






\((4)\) 曲線によって囲まれる面積
\begin{alignat}{2}
&S=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2π}r^2dθ=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2π}a^2(1+ \cos θ)^2dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{π}(1+2 \cos θ+ \cos^2 θ)dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{π}\left(1+2 \cos θ+\frac{1}{2} \cos 2θ\right)dθ\\
& =a^2 \displaystyle\int_0^{2π} \left(\frac{3}{2}+2 \cos θ+\frac{1}{2} \cos 2θ\right)dθ\\
& =a^2\left[\frac{3}{2}θ+2 \sin θ+\frac{1}{4} \sin 2θ\right]_0^π=\frac{3}{2}πa^2
\end{alignat}





\((5)\) 曲線の長さ

    \(\displaystyle \frac{dr}{dθ}=-a \sin θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
&r^2+\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2=a^2(1+ \cos θ)^2+a^2 \sin^2 θ\\
&           =a^2(1+2 \cos θ+ \cos^2 θ)+a^2 \sin^2 θ\\
&          =a^2(2+2 \cos θ)=4a^2\cdot \frac{1+ \cos θ}{2}=4a^2 \cos^2 \frac{θ}{2}\\
&L= \displaystyle\int_0^{2π} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2}dθ=2 \displaystyle\int_0^{π} 2a\left| \cos \frac{θ}{2}\right|dθ\\
& =4a \displaystyle\int_0^{π} \cos \frac{θ}{2}dθ=4a\left[2 \sin \frac{θ}{2}\right]_0^π=8π
\end{alignat} 





\((6)\) \(x\) 軸回りに回転させたときの立体の体積
\begin{alignat}{2}
&V=\frac{2}{3}π \displaystyle\int_0^{π} r^3 \sin θdθ\\
&  =\frac{2}{3}π \displaystyle\int_0^{π} a^3(1+ \cos θ)^3 \sin θdθ\\
&    ( \cos θ=t  - \sin θdθ=dt )\\
&  =\frac{2}{3}π \displaystyle\int_1^{-1}a^3(1+t)^3 \sin θ\left(-\frac{1}{ \sin θ}\right)dt \\
&  =\frac{2}{3}π \displaystyle\int_{-1}^1 a^3(1+t)^3dt=\frac{2}{3}πa^3\cdot 2 \displaystyle\int_0^{1}(1+3t^2)dt\\
&  =\frac{4}{3}πa^3[t+t^3]_0^1=\frac{8}{3}πa^3
\end{alignat}

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