角度が等差数列の三角関数の和(1)

$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \sin (φ+kα)=\frac{\sin \left(\frac{n+1}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{nα}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}$$


<証明>
数学的帰納法により示します。

\((A) n=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&\sin φ+ \sin (φ+α)=2 \sin \left(\frac{2φ+α}{2}\right) \cos \left(-\frac{α}{2}\right)\\
&               =2\sin \left(φ+\frac{α}{2}\right) \cos \frac{α}{2}\\
&               =\frac{2 \sin \frac{α}{2} \cos \frac{α}{2} \cdot \sin \left(φ+\frac{α}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&               =\frac{ \sin α \cdot \sin \left(φ+\frac{α}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}
\end{alignat}                となって成り立つ。

\((B) n=k\) のとき
$$ \displaystyle\sum_{r=0}^{k} \sin (φ+rα)=\frac{ \sin \left(\frac{k+1}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{kα}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}$$ が成り立つと仮定します。この両辺に\( \sin \{φ+(k+1)α\}\)を加えると
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\sum_{r=0}^{k+1} \sin (φ+rα)=\frac{ \sin \left(\frac{k+1}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{kα}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}+ \sin \{φ+(k+1)α\}\\
&             =\frac{ \sin \left(\frac{k+1}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{kα}{2}\right) + \sin \{φ+(k+1)α\} \sin \frac{α}{2}}{\sin \frac{α}{2}}\\
&             =\frac{-\frac{1}{2}\left[ \cos \left\{φ+\left(k+\frac{1}{2}\right)α\right\}- \cos \left(\frac{α}{2}-φ\right)\right]}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&                     +\frac{-\frac{1}{2}\left[ \cos \left\{φ+\left(k+\frac{3}{2}\right)α\right\}- \cos \left\{φ+\left(k+\frac{1}{2}\right)α\right\}\right]}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&             =\frac{-\frac{1}{2} \cos \left\{φ+\left(k+\frac{1}{2}\right)α\right\}+\frac{1}{2} \cos \left(\frac{α}{2}-φ\right)}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&                     +\frac{-\frac{1}{2} \cos \left\{φ+\left(k+\frac{3}{2}\right)α\right\}+\frac{1}{2} \cos \left\{φ+\left(k+\frac{1}{2}\right)α\right\}}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&             =\frac{\frac{1}{2} \cos \left(\frac{α}{2}-φ\right)-\frac{1}{2} \cos \left\{φ+\left(k+\frac{3}{2}\right)α\right\}}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&             =\frac{-\frac{1}{2}\left[ \cos \left\{φ+\left(k+\frac{3}{2}\right)α\right\}- \cos \left(φ-\frac{α}{2}\right)\right]}{ \sin \frac{α}{2}}\\
&             =\frac{ \sin \left(\frac{k+2}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{k+1}{2}α\right) }{ \sin \frac{α}{2}}
\end{alignat}
となって \( n=k+1\) のときも成り立つ。以上より$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \sin (φ+kα)=\frac{ \sin \left(\frac{n+1}{2}α\right) \cdot \sin \left(φ+\frac{nα}{2}\right)}{ \sin \frac{α}{2}}$$

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