角度が等差数列の三角関数の和(3)

$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos kθ=\frac{\sin\frac{n+1}{2}θ \cdot \cos \frac{n}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}$$$$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin kθ=\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \sin \frac{n}{2}θ}{ \sin \frac{θ}{2}}$$



<証明>
\(z=\cos θ+i \sinθ (z≠1)\) とすると$$z^k=\cos kθ+i \sin kθ$$$$z^{n+1}-1=(z-1)(z^n+z^{n-1}+z^{n-2}+ \cdots z^2+z+1)$$$$1+z+z^2+z^3+ \cdots +z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z} \cdots (1)$$ \((1)\) の左辺について 
\begin{alignat}{2}
&1+z+z^2+z^3+ \cdots +z^n\\
&=1+(\cos θ+i \sin θ)+( \cos 2θ+i \sin 2θ)+( \cos 3θ+i \sin 3θ)+ \cdots\\
& \cdots +\{ \cos (n-1)θ+i \sin(n-1)θ\}+( \cos nθ+i \sin nθ)\\
&=(1+ \cos θ+\cos 2θ+ \cdots +\cos nθ)+i( \sin θ+\sin 2θ+ \cdots +\sin nθ)\\ &=\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos kθ+i\displaystyle\sum_{k=1}^n \sin kθ
\end{alignat}
一方 \((1)\) の右辺について
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1- \cos θ-i \sin θ}=\frac{1- \cos θ+i \sin θ}{(1- \cosθ-i \sin θ)(1- \cos θ+i \sin θ)}\\
&     =\frac{1- \cos θ+i \sin θ}{(1-\cos θ)^2+\sin^2 θ}=\frac{1- \cos θ+i \sin θ}{2(1- \cos θ)}\\
&     =\frac{2 \sin^2 \frac{θ}{2}+2i \sin \frac{θ}{2} \cos\frac{θ}{2}}{4 \sin^2\frac{θ}{2}}=\frac{ \sin \frac{θ}{2}+i \cos \frac{θ}{2}}{2 \sin\frac{θ}{2}}
\end{alignat}
 であるから 
\begin{alignat}{2}
&\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\frac{\sin \frac{θ}{2}+i \cos \frac{θ}{2}}{2 \sin \frac{θ}{2}}\{1-\cos (n+1)θ-i \sin (n+1)θ\}\\
&        =\frac{\sin \frac{θ}{2}+i \cos\frac{θ}{2}}{2 \sin \frac{θ}{2}}\left(2 \sin^2 \frac{n+1}{2}θ-2i \sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \cos \frac{n+1}{2}θ\right)\\
&        =\frac{\sin \frac{θ}{2}θ+i \cos \frac{θ}{2}}{ \sin \frac{θ}{2}}\left( \sin\frac{n+1}{2}θ-i \cos \frac{n+1}{2}θ\right) \sin \frac{n+1}{2}θ\\
&        =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}\left(\sin \frac{θ}{2}+i \cos\frac{θ}{2}\right)\left( \sin\frac{n+1}{2}θ-i \cos\frac{n+1}{2}θ\right)\\
&        =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}\bigg\{\bigg(\cos \frac{n+1}{2}θ \cos \frac{θ}{2}+\sin \frac{n+1}{2}θ\sin \frac{θ}{2}\bigg)\\
&                +i\bigg(\sin \frac{n+1}{2}θ \cos \frac{θ}{2}-\cos \frac{n+1}{2} \sin \frac{θ}{2}\bigg)\bigg\}\\
&        =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}\left\{\cos \left(\frac{n+1}{2}θ-\frac{θ}{2}\right)+i \sin \left(\frac{n+1}{2}θ-\frac{θ}{2}\right)\right\}\\
&        =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}\left( \cos\frac{n}{2}θ+i \sin \frac{n}{2}θ\right)
\end{alignat}よって \((1)\) の式は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\sum_{k=0}^n \cos kθ+i\displaystyle\sum_{k=1}^n \sin kθ =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}\left( \cos\frac{n}{2}θ+i \sin \frac{n}{2}θ\right)\\
&                    =\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \cos \frac{n}{2}θ}{ \sin \frac{θ}{2}}+i\frac{ \sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \sin \frac{n}{2}θ}{ \sin\frac{θ}{2}}
\end{alignat}
以上より、実部と虚部を比較すれば $$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos kθ=\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \cos \frac{n}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}$$$$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin kθ=\frac{\sin \frac{n+1}{2}θ \cdot \sin \frac{n}{2}θ}{\sin \frac{θ}{2}}$$ (角度が等差数列の三角関数(1)(2)において \(φ=0\)としても導けます) 

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です