角の二等分線

<内角の二等分線>

下の図において \(l\) が角の二等分線であるとき
$$a:b=c:d ,  l^2=ab-cd$$ 

\((1)\) 内角の二等分線の比

上の図のように半直線\(BA\)と点 \(C\) を通り直線\(AE\)に平行な直線との交点を点\(D\) とします。すると上図の色のついている角が、錯角及び同位角で全て等しくなりますので、\(\triangle ACD\)が二等辺三角形です。よって\(AC=AD\)となります。ここで図形全体を見れば\( \triangle BAE \sim \triangle BDC\)となるので、 \(a:b=c:d\) が得られます。


\((2)\) 内角の二等分線の長さ

(Ⅰ) 下図のように\( \triangle ABC \) を円に内接させて、角の二等分線を延長して、円との交点を点 \(D\) とします。線分 \(ED\) の長さは \(e\) とします。このとき円周角の定理より、\( \angle B =\angle D \) となるので \( \triangle BAE \sim \triangle DAC\) となります。よって$$a:l=(l+e):b , l^2+el=ab $$ また、方べきの定理より \(el=cd\) が成り立つので$$l^2+cd=ab , l^2=ad-cd$$

(Ⅱ) \( \triangle ABC\) の面積について方程式を立てます。$$\frac{1}{2}ab \sin A=\frac{1}{2}al \sin \frac{A}{2}+\frac{1}{2}bl \sin\frac{A}{2}$$$$ab \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}=\frac{1}{2}(a+b)l \sin\frac{A}{2}$$$$(a+b)l=2ab \cos \frac{A}{2}$$ 次に余弦定理 \(\displaystyle \cos \frac{A}{2}=\frac{a^2+l^2-c^2}{2al}\) を代入します。$$(a+b)l=2ab \cdot \frac{a^2+l^2-c^2}{2al}$$$$(a+b)l^2=a^2b+bl^2-bc^2$$$$al^2=a^2b-bc^2  ( ad=bc )$$$$l^2=ab-\frac{bc^2}{a}=ab-cd$$


(Ⅲ) \( \triangle BCA\) において余弦定理。$$\cos B=\frac{a^2+(c+d)^2-b^2}{2a(c+d)}$$ 次に \( \triangle BDA\) において余弦定理。\begin{alignat}{2}
&l^2=a^2+c^2-2ac \cos B\\
& =a^2+c^2-2ac \cdot \frac{a^2+(c+d)^2-b^2}{2a(c+d)} \\
& =\frac{(a^2+c^2)(c+d)-a^2c-c(c+d)^2+b^2c}{c+d}\\
& =\frac{a^2c+a^2d+c^3+c^2d-a^2c-c^3-2c^2d-cd^2+b^2c}{c+d}\\
& =\frac{a^2d-c^2d-cd^2+b^2c}{c+d}    (ad=bc) \\
& =\frac{abc-cd(c+d)+abd}{c+d}\\
& =\frac{ab(c+d)-cd(c+d)}{c+d}=ab-cd
\end{alignat}



<外角の二等分線>

下の図において \(l\) が角の二等分線であるとき
$$a:b=c:d ,  l^2=cd-ab$$(ただし \(AB=a, AC=b, BE=c, EC=d\))   

\((3)\) 外角の二等分線の比

上の図のように半直線\(BA\)を引き、角 \(A\) から角の二等分線を引いたときに、 半直線\(BC\)との交点を点 \(E\) とします。次に点 \(C\) を通り直線\(AE\)に平行な直線との交点を点\(F\) とします。すると上図の色のついている角が、錯角及び同位角で全て等しくなりますので、\(\triangle ACF\)が二等辺三角形です。よって\(AC=AF\)となります。ここで図形全体を見れば\( \triangle BAE \sim \triangle BFC\)となるので、 \(BA:AF=BE:EC\) がであり、\(AF=AC\)ですから、\(BA:AC=BE:EC\) となります。

\((4)\) 外角の二等分線の長さ

上の図のように\( \triangle ABC \) を円に内接させます。半直線 \(EA\) と円との交点を点 \(D\) として、点 \(D\) と点 \(B\) を結びます。線分 \(AD\) の長さは \(e\) とします。線分 \(BE\) の長さは \(c\) とします。このとき、図の色が付いている角度はそれぞれ等しくなりますので\( \triangle ADB \sim \triangle ACE\) です。よって \(e:a=b:l 、 el=ab\) 、また、方べきの定理より \(l(l+e)=cd \) 、以上から$$l^2+el=cd , l^2=cd-ab$$  

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