奇数の3乗の逆数の交代級数

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{32}$$











<証明> \(f(x)=x-x^2 (0 \leq x \leq 1)\) を考えます。
ここで、この \(f(x)\) を原点について対称な位置にも描き、奇関数とします。
この周期2である \(f(x)\) をフーリエ級数展開します。

このとき \(f(x)\) 及び係数 \(b_k\) は次のように表されます。
$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kπx,  b_k=2\displaystyle\int_0^1 f(x) \sin kπxdx$$\(b_k\) を求めます。
$$b_k=2\displaystyle\int_0^1 (x-x^2) \sin kπxdx$$の積分部分を計算します。部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 (x-x^2) \sin kπxdx\\
&=\left[-\frac{1}{kπ}(x-x^2) \cos kπ\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ}(1-2x) \cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\displaystyle\int_0^1 (1-2x) \cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\left\{\left[\frac{1}{kπ}(1-2x) \sin kπx\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ}(-2) \sin kπxdx\right\}\\
&=\frac{2}{k^2π^2}\displaystyle\int_0^1 \sin kπxdx=-\frac{2}{k^3π^3}\left[ \cos kπx\right]_0^1\\
&=-\frac{2}{k^3π^3}\{(-1)^k-1\}=\frac{2\{1-(-1)^k\}}{k^3π^3}
\end{alignat}
以上より$$f(x)=\frac{4}{π^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^k}{k^3} \sin kπx$$となります。ここで \(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\) であることを用いれば
\begin{alignat}{2}
&f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{π^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^k}{k^3} \sin \frac{kπ}{2}=\frac{1}{4}\\
&           \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^k}{k^3} \sin \frac{kπ}{2}=\frac{π^3}{16}
\end{alignat}\(k=2,4,6, \cdots\) で \(0\) であるので
\begin{alignat}{2}
&2-\frac{2}{3^3}+\frac{2}{5^3}-\frac{2}{7^3}+\frac{2}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{16}\\
&1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{32}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{32}$$

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