奇数の5乗の逆数の交代級数

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=1-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+\frac{1}{9^5}- \cdots =\frac{5π^5}{1536}$$








<証明> \(f(x)=x-x^4 (0 \leq x \leq 1)\) を考えます。
ここで、この \(f(x)\) を原点について対称な位置にも描き、奇関数とします。
この周期2である \(f(x)\) をフーリエ級数展開します。

このとき \(f(x)\) 及び係数 \(b_k\) は次のように表されます。
$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kπx,  b_k=2\displaystyle\int_0^1 f(x) \sin kπxdx$$\(b_k\) を求めます。
$$b_k=2\displaystyle\int_0^1 (x-x^4) \sin kπxdx$$の積分部分を計算します。部分積分を行います。

\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 (x-x^4) \sin kπxdx\\
&=\left[-\frac{1}{kπ}(x-x^4)\cos kπx\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ}(1-4x^3)\cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\displaystyle\int_0^1 (1-4x^3)\cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\left\{\left[\frac{1}{kπ}(1-4x^3)\sin kπx\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ} \cdot (-12x^2)\sin kπxdx\right\}\\
&=\frac{12}{k^2π^2}\displaystyle\int_0^1 x^2 \sin kπxdx\\
&=\frac{12}{k^2π^2}\left\{\left[-\frac{x^2}{kπ}\cos kπx\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{kπ}\cos kπxdx\right\}\\
&=\frac{12}{k^2π^2}\left\{\frac{(-1)^{k+1}}{kπ}+\frac{2}{kπ}\displaystyle\int_0^1 x \cos kπxdx\right\}\\
&=\frac{12}{k^3π^3}\left[(-1)^{k+1}+2\left(\left[\frac{x}{kπ}\sin kπx\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ}\sin kπxdx\right)\right]\\
&=\frac{12}{k^3π^3}\left\{(-1)^{k+1}-\frac{2}{kπ}\displaystyle\int_0^1 \sin kπxdx\right\}\\
&=\frac{12}{k^3π^3}\left\{(-1)^{k+1}+\frac{2}{kπ}\left[\frac{1}{kπ}\cos kπx\right]_0^1\right\}\\
&=\frac{12}{k^3π^3}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\\
\end{alignat}よって \(f(x)\) は次のようにフーリエ級数展開されます。$$f(x)=\frac{24}{π^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\sin kπx$$\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) のとき$$\frac{1}{2}-\frac{1}{16}=\frac{24}{π^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\sin \frac{kπ}{2}$$\(k=2,4,6, \cdots\) のとき右辺は \(0\) となるので \(k=2n-1\) を代入します。\((n \in \mathrm{N})\)
\begin{alignat}{2}
&\frac{7}{16} \cdot \frac{π^3}{24}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^3}\left[(-1)^{2n}+\frac{2}{π^2(2n-1)^2}\{(-1)^{2n-1}-1\}\right]\sin \frac{(2n-1)π}{2}\\
&      =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3}-\frac{4}{π^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^5}\\
&      =\frac{π^3}{32}-\frac{4}{π^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^5}
&\\
&\\
&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^5}=\frac{π^2}{4}\left(\frac{π^3}{32}-\frac{7π^3}{16 \cdot 24}\right)=\frac{π^2}{4} \cdot \frac{5}{384}π^3=\frac{5π^5}{1536}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=1-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+\frac{1}{9^5}- \cdots =\frac{5π^5}{1536}$$

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