奇数の7乗の逆数の交代級数

$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=1-\frac{1}{3^7}+\frac{1}{5^7}-\frac{1}{7^7}+\frac{1}{9^7}- \cdots =\frac{61π^7}{184320}$$










<証明> 

途中、次の定積分、及び級数の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(C)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^1 x^2 \sin kπxdx=\frac{1}{kπ}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\\
&(B) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{32}\\
&(C) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=1-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+\frac{1}{9^5}- \cdots =\frac{5π^5}{1536}\\
\end{alignat}





\(f(x)=x-x^6 (0 \leq x \leq 1)\) を考えます。
ここで、この \(f(x)\) を原点について対称な位置にも描き、奇関数とします。
この周期2である \(f(x)\) をフーリエ級数展開します。

このとき \(f(x)\) 及び係数 \(b_k\) は次のように表されます。
$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin kπx,  b_k=2\displaystyle\int_0^1 f(x) \sin kπxdx$$\(b_k\) を求めます。
$$b_k=2\displaystyle\int_0^1 (x-x^6) \sin kπxdx$$の積分部分を計算します。部分積分を行います。

\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 (x-x^6) \sin kπxdx\\
&=\left[-\frac{1}{kπ}(x-x^6)\cos kπx\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ}(1-6x^5)\cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\displaystyle\int_0^1 (1-6x^5)\cos kπxdx\\
&=\frac{1}{kπ}\left\{\left[\frac{1}{kπ}(1-6x^5)\sin kπx\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{kπ} \cdot (-30x^4)\sin kπxdx\right\}\\
&=\frac{30}{k^2π^2}\displaystyle\int_0^1 x^4 \sin kπxdx\\
&=\frac{30}{k^2π^2}\left\{\left[-\frac{x^4}{kπ}\cos kπx\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \frac{4x^3}{kπ}\cos kπxdx\right\}\\
&=\frac{30}{k^2π^2}\left\{\frac{(-1)^{k+1}}{kπ}+\frac{4}{kπ}\displaystyle\int_0^1 x^3 \cos kπxdx\right\}\\
&=\frac{30}{k^3π^3}\left[(-1)^{k+1}+4\left(\left[\frac{x^3}{kπ}\sin kπx\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{3x^2}{kπ}\sin kπxdx\right)\right]\\
&=\frac{30}{k^3π^3}\left\{(-1)^{k+1}-\frac{12}{kπ}\displaystyle\int_0^1 x^2\sin kπxdx\right\}\\
&=\frac{30}{k^3π^3}\left[(-1)^{k+1}-\frac{12}{k^2π^2}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\right]\\
\end{alignat}よって \(f(x)\) は次のようにフーリエ級数展開されます。$$f(x)=\frac{60}{π^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left[(-1)^{k+1}-\frac{12}{k^2π^2}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\right]\sin kπx$$\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) のとき$$\frac{1}{2}-\frac{1}{64}=\frac{60}{π^3}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left[(-1)^{k+1}-\frac{12}{k^2π^2}\left[(-1)^{k+1}+\frac{2}{k^2π^2}\{(-1)^k-1\}\right]\right]\sin \frac{kπ}{2}$$\(k=2,4,6, \cdots\) のとき右辺は \(0\) となるので \(k=2n-1\) を代入します。\((n \in \mathrm{N})\)
\begin{alignat}{2}
&\frac{31}{64}\cdot \frac{π^3}{60}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^3}\left[(-1)^{2n}-\frac{12}{π^2(2n-1)^2}\left[(-1)^{2n}+\frac{2}{π^2(2n-1)^2}\{(-1)^{2n-1}-1\}\right]\right]\sin \frac{(2n-1)π}{2}\\
&      =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^3}\left[1-\frac{12}{π^2(2n-1)^2}\left\{1-\frac{4}{π^2(2n-1)^2}\right\}\right](-1)^{n-1}\\
&      =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^3}\left\{1-\frac{12}{π^2(2n-1)^2}+\frac{48}{π^4(2n-1)^4}\right\}(-1)^{n-1}\\
&      =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^3}{(2n-1)^3}-\frac{12}{π^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^3}{(2n-1)^5}+\frac{48}{π^4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^3}{(2n-1)^7}\\
&      =\frac{π^3}{32}-\frac{12}{π^2} \cdot \frac{5π^5}{1536}+\frac{48}{π^4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^3}{(2n-1)^7}
&\\
&\\
&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^7}=\frac{π^4}{48}\left(\frac{31}{64} \cdot \frac{π^3}{60}-\frac{π^3}{32}+\frac{5π^3}{128}\right)=\frac{π^4}{48} \cdot \frac{π^3}{128} \left(\frac{31}{30}-4+5\right)=\frac{π^4}{48} \cdot \frac{π^3}{128} \cdot \frac{61}{30}=\frac{61π^7}{184320}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7}=1-\frac{1}{3^7}+\frac{1}{5^7}-\frac{1}{7^7}+\frac{1}{9^7}- \cdots =\frac{61π^7}{184320}$$

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