コーシーの平均値の定理

「二つの関数 \(f(x),g(x)\) が閉区間 \([a,b]\) で連続かつ開区間 \((a,b)\) で微分可能であるとき
(ただし \(g(x)\) が \((a,b)\) で \(g’(x)≠0\) かつ \(g(a)≠g(b)\) とする)$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)} (a \lt c \lt b)$$を満たす \(c\) が少なくとも一つ存在する。」ことをコーシーの平均値の定理と言います。




<証明>

下の図のような \(XY\) 座標で
それぞれ \(X,Y\) が\(g(x),f(x)\) で定まる曲線を考えます。

\(A(g(a),f(a)), B(g(b),f(b))\) より直線 \(AB\) は$$Y=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\{X-g(a)\}+f(a)$$ここで直線 \(AB\) と \(Y=f(x)\) と差を取った関数を \(F(x)\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&F(x)=f(x)-\left[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\{X-g(a)\}+f(a)\right]\\
&    =f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\{g(x)-g(a)\} \cdots (A)
\end{alignat}このとき \(F(a)=0, F(b)=0\)
また \(F(x)\) が \([a,b]\) で連続かつ \((a,b)\) で微分可能だから
ロルの定理より$$F’(c)=0 (a \lt c \lt b)$$を満たす \(c\) が存在する。

\((A)\) の式を微分すると$$F’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g’(x)$$この式で \(x=c\) とすると$$F’(c)=f’(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g’(c)=0$$よって$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$$
以上より$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)} (a \lt c \lt b)$$を満たす \(c\) が少なくとも一つ存在することが示されました。

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