区分求積法

区分求積法とは「曲線で囲まれた部分の面積を無数の長方形の面積に和に近似させる方法」のことです。

区分求積法に関する式を以下に示します。
\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\\
&(2) \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\\
&(3) \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k-1}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx\\
&(4) \displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{mn} f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^m f(x)dx\\
\end{alignat}







<証明>

\((1)\)
積分区間 \([0,1]\) である \(f(x)\) の定積分の値について考えます。

下の図のように、
横の長さを \(\displaystyle \frac{1}{n}\) とした \(n\) 個の長方形を
面積を求めたい部分に「上にはみ出すように」敷き詰めます。

今、求めたい面積を \(n\) 個の長方形に分割して近似させたわけですが、

ここでもっと細かく、すなわち「 \(n \to \infty\) とすれば、
求めたい面積に近づくだろう」というのが区分求積法の考え方になります。

よって \(n\) 個の長方形の面積の和は$$\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{2}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{3}{n}\right)+ \cdots +\frac{1}{n}f\left(\frac{n-1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{n}{n}\right)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$$となるので \(n \to \infty\) とすれば $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$$







\((2)\)

同様に積分区間 \([0,1]\) である \(f(x)\) の定積分の値について考えます。

下の図のように、
横の長さを \(\displaystyle \frac{1}{n}\) とした \(n\) 個の長方形を
面積を求めたい部分から「上にはみ出さないように」敷き詰めます。

今、求めたい面積を \(n\) 個の長方形に分割して近似させたので
その和を求め \(n \to \infty\) とします。

\(n\) 個の長方形の面積の和は$$\frac{1}{n}f\left(\frac{0}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{2}{n}\right)+ \cdots +\frac{1}{n}f\left(\frac{n-2}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{n-1}{n}\right)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$$となるので \(n \to \infty\) とすれば $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$$







\((3)\) \((2)\) の式においてシグマのスタートを \(k=1\) からにすると$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k-1}{n}\right)=\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$$







\((4)\) 

\((1)\) と同じ考え方で、積分区間 \([0,1]\) ではなく積分区間 \([0,m]\)の
\(f(x)\) の定積分の値について考えます。\((m \in \mathbb{N})\)

このとき \(mn\) 個に分割された長方形の面積の和は$$\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{2}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{3}{n}\right)+ \cdots +\frac{1}{n}f\left(\frac{mn-1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{mn}{n}\right)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{mn} f\left(\frac{k}{n}\right)$$となるので \(n \to \infty\) とすれば $$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{mn} f\left(\frac{k}{n}\right)=\displaystyle\int_0^m f(x)dx$$

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