組合せの等式(5)

\begin{alignat}{2}
&(12) {}_n \mathrm{C}_0-\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{2^2}- \cdots +(-1)^n\frac{{}_n \mathrm{C}_n}{2^n}=\frac{1}{2^n}\\
&(13)  {}_{n-1} \mathrm{C}_0+\frac{(-1)}{2}{}_{n-1} \mathrm{C}_1+\frac{(-1)^2}{3}{}_{n-1} \mathrm{C}_2+ \cdots \\ &             \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n}{}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}=\frac{1}{n}
\end{alignat}



$$(1+x)^n={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n \cdots (A)$$

<証明>
\((12)\) \((A)\) の式において \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) を代入すると
\begin{alignat}{2}
&\left(1-\frac{1}{2}\right)^n={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1 \left(-\frac{1}{2}\right)+{}_n \mathrm{C}_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+ \cdots\\
&\cdots +{}_n \mathrm{C}_{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_n\left(-\frac{1}{2}\right)^n
\end{alignat}よって
$${}_n \mathrm{C}_0-\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{2^2}- \cdots +(-1)^n\frac{{}_n \mathrm{C}_n}{2^n}=\frac{1}{2^n}$$






\((13)\) \(n \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}=k \cdot {}_n \mathrm{C}_k\) を変形して
\(\displaystyle \frac{{}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}}{k}=\frac{{}_n \mathrm{C}_k}{n}\) に \(k=1,2,3, \cdots ,n\) を代入すると

\(k=1\) のとき \(\displaystyle \frac{{}_{n-1} \mathrm{C}_0}{1}=\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{n}\)   \(k=2\) のとき \(\displaystyle \frac{{}_{n-1} \mathrm{C}_1}{2}=\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{n}\) 

           \(\cdots\)

\(k=n-1\) のとき \(\displaystyle \frac{{}_{n-1} \mathrm{C}_{n-2}}{n-1}=\frac{{}_n \mathrm{C}_{n-1}}{n}\)

\(k=n\) のとき \(\displaystyle \frac{{}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}}{n}=\frac{{}_n \mathrm{C}_n}{n}\)

これらを代入すると
\begin{alignat}{2}
&{}_{n-1} \mathrm{C}_0+\frac{(-1)}{2}{}_{n-1} \mathrm{C}_1+\frac{(-1)^2}{3}{}_{n-1} \mathrm{C}_2+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n}{}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}\\
&=\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{n}+\frac{(-1){}_n \mathrm{C}_2}{n}+\frac{(-1)^2{}_n \mathrm{C}_3}{n}+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1} {}_n \mathrm{C}_n}{n}\\
&=\frac{1}{n}\{{}_n \mathrm{C}_1-{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_3- \cdots +(-1)^{n-1}{}_n \mathrm{C}_n\}
\end{alignat}
ここで \((A)\) の式に \(x=-1\) を代入すると$${}_n \mathrm{C}_0-{}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_2- \cdots +(-1)^n{}_n \mathrm{C}_n=0$$移項して$${}_n \mathrm{C}_1-{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_3- \cdots +(-1)^{n-1}{}_n \mathrm{C}_n={}_n \mathrm{C}_0=1$$ となるので、以上より$$  {}_{n-1} \mathrm{C}_0+\frac{(-1)}{2}{}_{n-1} \mathrm{C}_1+\frac{(-1)^2}{3}{}_{n-1} \mathrm{C}_2+ \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n}{}_{n-1} \mathrm{C}_{n-1}=\frac{1}{n}$$

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