組合せの等式[1]

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{k=0}^n \left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n=2^n\\
&(2)  \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left(
\begin{array}{2}
\,n\\
2k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_4+ \cdots=2^{n-1}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left(
\begin{array}{2}
  n\\
2k+1\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_3+{}_n \mathrm{C}_5+ \cdots=2^{n-1}\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k\left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_n=n \cdot 2^{n-1}\\
&(5)  \displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k\left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1-2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3- \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_n=0\\
\end{alignat}








<証明>

次の二項展開の式を用います。$$(1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)x^k={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n   \cdots (A)$$


\((1)\) \((A)\) において \(x=1\) を代入すれば直ちに$$ {}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n=(1+1)^n=2^n$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n=2^n$$








\((2)\) \((A)\) において \(x=-1\) を代入します。

(ただし \(n\) は十分に大きな自然数であると考えます。)$${}_n \mathrm{C}_0-{}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_2-{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots =0 $$このとき左辺の負の項を全て、右辺に移項します。

右辺、または左辺全体 を \(N\) と置きます。
$${}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_4+\cdots ={}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_3+{}_n \mathrm{C}_5+ \cdots=N$$すると \((1)\) の式は \(2N=2^n, N=2^{n-1}\) となるので$${}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_4+ \cdots ={}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_3+{}_n \mathrm{C}_5+ \cdots =2^{n-1}$$以上より
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left(
\begin{array}{2}
\,n\\
2k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_2+{}_n \mathrm{C}_4+ \cdots=2^{n-1}\\
&\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left(
\begin{array}{2}
  n\\
2k+1\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1+{}_n \mathrm{C}_3+{}_n \mathrm{C}_5+ \cdots=2^{n-1}\\
\end{alignat}








\((4)\) \((A)\) の両辺を \(x\) で微分します。$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k\left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right) x^{k-1}={}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2x+3{}_n \mathrm{C}_3x^2+ \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_nx^{n-1}=n\cdot(1+x)^{n-1}  \cdots (B)$$ \((B)\) において \(x=1\) を代入すると$${}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_n=n\cdot(1+1)^{n-1}=n \cdot 2^{n-1}$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k\left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_n=n \cdot 2^{n-1}$$








\((5)\) \((B)\) において \(x=-1\) を代入すると$${}_n \mathrm{C}_1-2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3- \cdots  +(-1)^{n-1}n \cdot {}_n \mathrm{C}_n=n\cdot(1-1)^{n-1}=0$$以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k\left(
\begin{array}{2}
n\\
k\\
\end{array}\right)={}_n \mathrm{C}_1-2{}_n \mathrm{C}_2+3{}_n \mathrm{C}_3- \cdots  +n\cdot {}_n \mathrm{C}_n=0$$

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