組合せの等式(2)

\begin{alignat}{2}
&(5)  {}_n \mathrm{C}_0+\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}+ \cdots +\frac{ {}_n \mathrm{C}_{n}}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}\\
&(6)  {}_n \mathrm{C}_0-\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}- \cdots  +(-1)^n\frac{ {}_n \mathrm{C}_n}{n+1}=\frac{1}{n+1}\\
&(7)  {}_n \mathrm{C}_1+2^2{}_n \mathrm{C}_2+3^2{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots +n^n {}_n \mathrm{C}_n=n(n+1)2^{n-2}
\end{alignat}



$$(1+x)^n={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n \cdots (A)$$


<証明>
\((5)\) \((A)\) の式を区間 \([0,1]\) で積分します。$$ \displaystyle \int_{0}^{1} (1+x)^ndx=\displaystyle \int_{0}^{1}({}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n)dx$$左辺は$$\displaystyle \int_{0}^{1} (1+x)^ndx=\left[ \frac{1}{n+1}(1+x)^{n+1}\right]_0^1=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$$右辺は$$\left[ {}_n \mathrm{C}_0 x+\frac{1}{2} {}_n \mathrm{C}_1 x^2+\frac{1}{3} {}_n \mathrm{C}_2 x^3+ \cdots +\frac{1}{n+1} {}_n \mathrm{C}_n x^{n+1}\right]_0^1 $$$$={}_n \mathrm{C}_0+\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}+ \cdots +\frac{ {}_n \mathrm{C}_{n}}{n+1}$$よって$$ {}_n \mathrm{C}_0+\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}+ \cdots +\frac{ {}_n \mathrm{C}_{n}}{n+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$$



\((6)\) \((A)\) の式を区間 \([-1,0]\) で積分します。$$\displaystyle \int_{-1}^{0} (1+x)^ndx=\displaystyle \int_{-1}^{0}({}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n)dx$$左辺は$$\displaystyle \int_{-1}^{0} (1+x)^ndx=\left[ \frac{1}{n+1}(1+x)^{n+1}\right]_{-1}^0=\frac{1}{n+1}$$右辺は $$\left[ {}_n \mathrm{C}_0 x+\frac{1}{2} {}_n \mathrm{C}_1 x^2+\frac{1}{3} {}_n \mathrm{C}_2 x^3+ \cdots +\frac{1}{n+1} {}_n \mathrm{C}_n x^{n+1}\right]_{-1}^0 $$ $$=-\left(-{}_n \mathrm{C}_0+\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}-\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}+ \cdots +(-1)^{n+1} \frac{ {}_n \mathrm{C}_{n}}{n+1}\right)$$$$ ={}_n \mathrm{C}_0-\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}- \cdots  +(-1)^n\frac{ {}_n \mathrm{C}_n}{n+1}$$よって$${}_n \mathrm{C}_0-\frac{{}_n \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{}_n \mathrm{C}_2}{3}- \cdots  +(-1)^n\frac{ {}_n \mathrm{C}_n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$$





\((7)\) \((A)\) の式を \(x\) で微分します。$$n(1+x)^{n-1}={}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2 x+3{}_n \mathrm{C}_3x^2+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n x^{n-1}$$両辺に \(x\) を掛けます。 $$nx(1+x)^{n-1}={}_n \mathrm{C}_1x+2{}_n \mathrm{C}_2 x^2+3{}_n \mathrm{C}_3x^3+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n x^n$$もう一度、両辺を\(x\) で微分します $$n\{(1+x)^{n-1}+x(n-1)(1+x)^{n-2}\}={}_n \mathrm{C}_1+2^2{}_n \mathrm{C}_2 x+3^3{}_n \mathrm{C}_3x^2+ \cdot +n^2{}_n \mathrm{C}_n x^{n-1}$$\(x=1\) を代入すると左辺は$$n\{2^{n-1}+(n-1)2^{n-2\}}=n(2 \cdot 2^{n-2}+n\cdot 2^{n-2}-2^{n-2}\}=n(2^{n-2}+n \cdot 2^{n-2})=n(n+1)\cdot 2^{n-2}$$ よって$${}_n \mathrm{C}_1+2^2{}_n \mathrm{C}_2+3^2{}_n \mathrm{C}_3+ \cdots +n^n {}_n \mathrm{C}_n=n(n+1)2^{n-2}$$


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