組合せの等式(3)

\begin{alignat}{2}
&(8)  {}_n \mathrm{C}_0^2+{}_n \mathrm{C}_1^2+{}_n \mathrm{C}_2^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n^2=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\\
&(9)  {}_n \mathrm{C}_1^2+2{}_n \mathrm{C}_2^2+3{}_n \mathrm{C}_3^2+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n^2=\frac{(2n-1)!}{\{(n-1)!\}^2}
\end{alignat}







<証明>
$$(8) (1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n \cdots(A) $$$$(左辺)=(1+x)^{2n}= {}_{2n} \mathrm{C}_0+{}_{2n} \mathrm{C}_1 x+{}_{2n} \mathrm{C}_2 x^2+ \cdots $$$$ \cdots +{}_{2n} \mathrm{C}_n x^n+ \cdots +{}_{2n} \mathrm{C}_{2n} x^{2n} $$$$(右辺)=({}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n)$$$$×({}_n \mathrm{C}_n+{}_n \mathrm{C}_{n-1}x+{}_n \mathrm{C}_{n-2}x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_0 x^n)$$ ここで x^n の係数に着目すると $$
(右辺)= \cdots +({}_n \mathrm{C}_0^2+{}_n \mathrm{C}_1^2+{}_n \mathrm{C}_2^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n^2)x^n+ \cdots$$両辺を比較すれば$$ {}_n \mathrm{C}_0^2+{}_n \mathrm{C}_1^2+{}_n \mathrm{C}_2^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n^2={}_{2n} \mathrm{C}_n$$ $$ {}_{2n} \mathrm{C}_n=\frac{(2n)!}{(2n-n)!n!}= \frac{(2n)!}{(n!)^2} $$ $${}_n \mathrm{C}_0^2+{}_n \mathrm{C}_1^2+{}_n \mathrm{C}_2^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_n^2=\frac{(2n)!}{(n!)^2} $$
$$(9)  (1+x)^n={}_n \mathrm{C}_0+{}_n \mathrm{C}_1x+{}_n \mathrm{C}_2x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_nx^n \cdots (A)$$$$(A) の両辺を x で微分すると$$$$ n(1+x)^{n-1}={}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2x+3{}_n \mathrm{C}_3x^2+ \cdots $$$$\cdots +(n-1){}_n \mathrm{C}_{n-1}x^{n-2}+n{}_n \mathrm{C}_nx^{n-1}    \cdots (B)$$ $$ (1+x)^n={}_n \mathrm{C}_n+{}_n \mathrm{C}_{n-1}x+{}_n \mathrm{C}_{n-2}x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_1 x^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_0 x^n \cdots (C) $$
$$(B) と (C) を掛け合わせます$$$$ n(1+x)^{n-1}(1+x)^n=n(1+x)^{2n-1}$$$$=\{ {}_n \mathrm{C}_1+2{}_n \mathrm{C}_2x+3{}_n \mathrm{C}_3x^2+ \cdots +(n-1){}_n \mathrm{C}_{n-1}x^{n-2}+n{}_n \mathrm{C}_nx^{n-1} \} $$$$ ×({}_n \mathrm{C}_n+{}_n \mathrm{C}_{n-1}x+{}_n \mathrm{C}_{n-2}x^2+ \cdots +{}_n \mathrm{C}_2 x^{n-2} +{}_n \mathrm{C}_1 x^{n-1}+{}_n \mathrm{C}_0 x^n) $$ $$ここで両辺を展開して x^{n-1} の項に着目すると$$ $$(左辺)=n({}_{2n-1} \mathrm{C}_0+{}_{2n-1} \mathrm{C}_1 x+{}_{2n-1} \mathrm{C}_2 x^2+ \cdots $$$$ \cdots + {}_{2n-1} \mathrm{C}_{n-1} x^{n-1}+ \cdots  +{}_{2n-1} \mathrm{C}_{2n-1} x^{2n-1})$$$$ (右辺)= \cdots +({}_n \mathrm{C}_1^2+2{}_n \mathrm{C}_2^2+3{}_n \mathrm{C}_3^2+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n^2)x^{n-1}+ \cdots $$$$ {}_n \mathrm{C}_1^2+2{}_n \mathrm{C}_2^2+3{}_n \mathrm{C}_3^2+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n^2= n{}_{2n-1} \mathrm{C}_{n-1}$$$$ n{}_{2n-1} \mathrm{C}_{n-1}=n \cdot \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}=\frac{(2n-1)!}{\{(n-1)!\}^2}$$ $$ {}_n \mathrm{C}_1^2+2{}_n \mathrm{C}_2^2+3{}_n \mathrm{C}_3^2+ \cdots +n{}_n \mathrm{C}_n^2=\frac{(2n-1)!}{\{(n-1)!\}^2} $$

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