極方程式の回転体の体積

極方程式 \(r=f(θ)\) の区間 \([a,b]\) における曲線を \(x\) 軸周りに回転させたときに出来る立体の体積$$V=\frac{2}{3}π\displaystyle\int_a^b r^3 \sin θ dθ$$




<証明>

下の図のように曲線 \(r=f(θ)\) 上に点 \(A,B\) を取ります。
それぞれの座標は\(A(f(θ),θ), B(f(θ+h),θ+h)\) とします。

\(y\) 軸に平行で点 \(A\) を通るような直線を引き、
\(x\) 軸との交点を \(H\)、さらに半直線 \(OB\) との交点を \(B’\) とします。

\(OA=f(θ)\) であるので \(OH=f(θ)\cos θ\) であり、
\(AH=f(θ)\cos θ\cdot \tan θ\)
\(B’H=f(θ)\cos θ\cdot \tan (θ+h)\) となります。

ここで極方程式が \(θ+h\) のときに作る立体(\(B\) ではなく \(B’\))
すなわち、三角形\(OHB’\) を \(x\) 軸周りに回転させたときにできる円錐の体積 \(V(θ+h)\) から
三角形 \(OHA\) を \(x\) 軸周りに回転させたときにできる円錐の体積 \(V(θ)\) を引いた \(V(θ+h)-V(θ)\) (\(h\) だけ変化したときの立体の体積)は、
次のような近似式で書けます。$$V(θ+h)-V(θ)≒\frac{π}{3}f(θ)\cos θ \cdot B’H^2-\frac{π}{3}f(θ)\cos θ \cdot AH^2$$
式をまとめていくと
\begin{alignat}{2}
&=\frac{π}{3}f(θ)\cos θ(B’H^2-AH^2)\\
&=\frac{π}{3}f(θ)^3 \cos^3 θ\{\tan^2(θ+h)-\tan^2 θ\}
\end{alignat}両辺を \(h\) で割ります。$$\frac{V(θ+h)-V(θ)}{h}=\frac{π}{3}f(θ)^3 \cos^3 θ \cdot \frac{\tan^2(θ+h)-\tan^2 θ}{h}$$\(h \to 0\) とすると
\begin{alignat}{2}
&V’(θ)=\frac{π}{3}f(θ)^3 \cos^3 θ(\tan^2 θ)’\\
&     =\frac{π}{3}f(θ)^3 \cos^3 θ \cdot 2 \tan θ \cdot \frac{1}{\cos^2 θ}\\
&     =\frac{2}{3}πr^3 \sin θ
\end{alignat}両辺を \(θ\) で積分すれば$$V(θ)=\frac{2}{3}π\displaystyle\int r^3 \sin θ dθ$$

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