曲線の長さ

「曲線の長さ」は以下の積分計算により求めることが出来ます。

\((1)\) \(y=f(x)\)$$L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+\{f’(x)\}^2}dx$$\((2)\) 媒介変数$$L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ$$\((3)\) 極方程式$$L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2}dθ$$




<証明>

\((1)\) 次のように曲線の長さを、直角三角形の斜辺の長さに近似させます。

曲線 \(y=f(x)\) 上に2点 \(A,B\) を取り、
線分\(AB\) が斜辺となるような直角三角形 \(ABC\)を作ります。

\(A(x,f(x)), B(x+h,f(x+h))\) とすると、
底辺が \(h\) で高さが \(f(x+h)-f(x)\) となります。

ここで曲線 \(DA\) の長さを \(L(x)\),曲線 \(DB\) の長さを \(L(x+h)\) とすると
線分\(AB\) の長さは \(L(x+h)-L(x)\) に近似出来ます。

すなわち三平方の定理を用いれば$$L(x+h)-L(x)≒\sqrt{h^2+\{f(x+h)-f(x)\}^2}$$両辺を \(h\) で割ります。$$\frac{L(x+h)-L(x)}{h}≒\sqrt{1+\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right\}^2}$$\(h \to 0\) とします。$$\displaystyle\lim
_{h \to 0}\frac{L(x+h)-L(x)}{h}≒\displaystyle\lim
_{h \to 0}\sqrt{1+\left\{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right\}^2}$$すなわち$$L’(x)=\sqrt{1+\{f’(x)\}^2}$$両辺を積分することで$$L(x)=\displaystyle\int \sqrt{1+\{f’(x)\}^2}dx$$(あとは求めたい部分に合わせて積分区間を \([a,b]\) として計算すればよい)






\((2)\) \((1)\) の式を変形します。$$L(x)=\displaystyle\int \sqrt{1+\{f’(x)\}^2}dx=\displaystyle\int \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$$\(θ\) での積分に切り替えて、ルートの中に掛けこみます。$$=\displaystyle\int \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\frac{dx}{dθ}\cdot dθ=\displaystyle\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ$$
よって媒介変数表示 \(x=f(θ), y=g(θ)\) のときの曲線の長さは$$L(x)=\displaystyle\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ$$







\((3)\) \((2)\) の式を変形します。極座標 \(r=f(θ)\) より \(x,y\) はそれぞれ
\begin{alignat}{2}
&x=r \cos θ=f(θ) \cos θ\\
&y=r \sin θ=f(θ) \sin θ\\
\end{alignat} となるので
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{dθ}=f’(θ) \cos θ-f(θ) \sin θ\\
&\frac{dy}{dθ}=f’(θ) \sin θ+f(θ) \cos θ\\
\end{alignat}
\((2)\) のルートの中身の計算をします。
\begin{alignat}{2}
&\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2=\{f’(θ) \cos θ-f(θ) \sin θ\}^2+\{f’(θ) \sin θ+f(θ) \cos θ\}^2\\
&=f’(θ)^2 \cos^2 θ -2f’(θ)f(θ) \sin θ \cos θ+ f(θ)^2 \sin^2 θ+f’(θ)^2 \sin^2 θ +2f’(θ)f(θ) \sin θ \cos θ+ f(θ)^2 \cos^2 θ\\
&=f(θ)^2+f’(θ)^2=r^2+\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2
\end{alignat}よって極方程式で表された場合は$$L(x)=\displaystyle\int \sqrt{\left(\frac{dx}{dθ}\right)^2+\left(\frac{dy}{dθ}\right)^2}dθ=\displaystyle\int \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{dθ}\right)^2}dθ$$

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