キュムラント母関数

確率密度関数 \(f(x)\) のモーメント母関数を \(M(θ)\) とするとき

\(M(θ)\) に \( \log \) を付けた関数をキュムラント母関数と呼びます。

すなわち、キュムラント母関数は次式で表されます。$$k(θ)=\log M(θ)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{θ^n}{n!} \kappa_n$$


次のように、キュムラント母関数を \(θ\) で \(n\) 回微分して \(θ=0\) としたものを

\(n\) 次のキュムラントと呼びます。$$\kappa_n=\frac{d^n}{dθ^n}k(θ)\bigg|_{θ=0}=\frac{d^n}{dθ^n}\log M(θ)\bigg|_{θ=0}$$

原点周りのモーメント母関数を \(μ_n=E[X^n]\)

平均値周りのモーメント母関数を \(v_n=E[(X-μ_1)^n]\) としたとき

\(\kappa_n\,(n=1,2,3,4)\) について
\begin{alignat}{2}
&(A)  \kappa_1=μ_1\\
&(B)  \kappa_2=μ_2-μ_1^2=σ^2\\
&(C)  \kappa_3=μ_3-3μ_1μ_2+2μ_1^3=v_3\\
&(D)  \kappa_4=μ_4-4μ_1μ_3-3μ_2^2+12μ_1^2μ_2-6μ_1^4=v_4-3σ^2\\
\end{alignat} 









<証明>

次のように、キュムラント母関数の式(ただし、まずはシグマのスタートを \(n=0\) とした)$$k(θ)=\log M(θ)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{θ^n}{n!} \kappa_n=\kappa_0+θ\kappa_1+\frac{θ^2}{2!}\kappa_2+\frac{θ^3}{3!}\kappa_3+\frac{θ^4}{4!}\kappa_4+ \cdots $$において \(θ=0\) とすると$$k(0)=\log M(0)=\log 1=\kappa_0$$となるので$$\kappa_0=0$$よって、キュムラント母関数のシグマのスタートは \(n=1\) からとなり$$k(θ)=\log M(θ)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{θ^n}{n!} \kappa_n=θ\kappa_1+\frac{θ^2}{2!}\kappa_2+\frac{θ^3}{3!}\kappa_3+\frac{θ^4}{4!}\kappa_4+ \cdots$$と書けます。

キュムラント母関数の両辺を \(θ\) で微分します。$$k’(θ)=\frac{M’(θ)}{M(θ)}=\kappa_1+θ\kappa_2+\frac{θ^2}{2!}\kappa_3+\frac{θ^3}{3!}\kappa_4+\frac{θ^4}{4!}\kappa_5+ \cdots$$\(θ=0\) とします。$$k’(0)=\frac{M’(0)}{M(0)}=\kappa_1$$\(M(0)=1,\,M’(0)=E[X]=μ_1,\,M’’(0)=E[X^2]=μ_2,\,\cdots \) などとなるので$$\kappa_1=μ_1$$
さらに両辺を \(θ\) で微分します。$$k’’(θ)=\frac{M’’(θ)M(θ)-\{M’(θ)\}^2}{\{M(θ)\}^2}=\kappa_2+θ\kappa_3+\frac{θ^2}{2!}\kappa_4+\frac{θ^3}{3!}\kappa_5+\frac{θ^4}{4!}\kappa_6+ \cdots$$\(θ=0\) とします。$$k’’(0)=M’’(0)-M’(0)^2=\kappa_2$$よって$$\kappa_2=μ_2-μ_1^2=σ^2$$

この辺りから、式が煩雑になるので \(M(θ)=M\) と略記します。

すなわち、キュムラント母関数の \(2\) 回微分は$$k’’(θ)=\frac{M’’M-M’^2}{M^2}=\kappa_2+θ\kappa_3+\frac{θ^2}{2!}\kappa_4+\frac{θ^3}{3!}\kappa_5+ \cdots$$両辺を \(θ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
k’’’(θ)&=\frac{(M’’’M+M’’M’-2M’M’’)M^2-(M’’M-M’^2) \cdot 2MM’}{M^4}=\kappa_3+θ\kappa_4+\frac{θ^2}{2!}\kappa_5+\frac{θ^3}{3!}\kappa_6+ \cdots\\
&=\frac{M^2M’’’+MM’M’’-2MM’M’’-2MM’M’’+2M’^3}{M^3}\\
&=\frac{M^2M’’’-3MM’M’’+2M’^3}{M^3}
\end{alignat}\(θ=0\) とします。$$k’’’(0)=μ_3-3μ_1μ_2+2μ_1^3=\kappa_3$$ささらに変形を進めると
\begin{alignat}{2}
\kappa_3&=μ_3-3μ_1μ_2+2μ_1^3=μ_3-3μ_1μ_2+3μ_1^2μ_1-μ_1^3\\
&\\
&=E[X^3]-3μ_1E[X^2]+3μ_1^2E[X]-μ_1^3E[1]\\
&\\
&=E[X^3-3μ_1X^2+3μ_1^2X-μ_1^3]=E[(X-μ_1)^3]=v_3\\
\end{alignat}以上より$$\kappa_3=μ_3-3μ_1μ_2+2μ_1^3=v_3$$


両辺を \(θ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
k^{(4)}(θ)&=\frac{M^2M’’’-3MM’M’’+2M’^3}{M^3}=\kappa_4+θ\kappa_5+\frac{θ^2}{2!}\kappa_6+\frac{θ^3}{3!}\kappa_7+ \cdots\\
&=\frac{\{2MM’M’’’+M^2M^{(4)}-3(M’^2M’’+MM’’^2+MM’M’’’)+6M’^2M’’\}M^3-(M^2M’’’-3MM’M’’+2M’^3) \cdot 3M^2M’}{M^6}\\
&=\frac{2M^2M’M’’’+M^3M^{(4)}-3MM’^2M’’-3M^2M’’^2-3M^2M’M’’’+6MM’^2M’’-3M^2M’M’’’+9MM’^2M’’-6M’^4}{M^4}\\
&=\frac{M^3M^{(4)}-4M^2M’M’’’-3M^2M’’^2+12MM’^2M’’-6M’^4}{M^4}
\end{alignat}\(θ=0\) とします。$$k^{(4)}(0)=μ_4-4μ_1μ_3-3μ_2^2+12μ_1^2μ_2-6μ_1^4=\kappa_4$$さらに変形を進めると
\begin{alignat}{2}
\kappa_4&=μ_4-4μ_1μ_3-3μ_2^2+12μ_1^2μ_2-6μ_1^4\\
&\\
&=μ_4-4μ_1μ_3+6μ_1^2μ_2-4μ_1^3μ_1+μ_1^4-3μ_1^4+6μ_1^2μ_2-3μ_2^2\\
&\\
&=E[X^4]-4μ_1E[X^3]+6μ_1^2E[X^2]-4μ_1^3E[X]+μ_1^4E[1]-3(μ_2^2-2μ_1^2μ_2+μ_1^4)\\
&\\
&=E[X^4-4μ_1X^3+6μ_1^2X^2-4μ_1^3X+μ_1^4]-3(μ_2-μ_1^2)^2\\
&\\
&=E[(X-μ_1)^4]-3σ^4=v_4-3σ^4
\end{alignat}以上より$$\kappa_4=μ_4-4μ_1μ_3-3μ_2^2+12μ_1^2μ_2-6μ_1^4=v_4-3σ^4$$


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