球・球冠・球台

球冠…球を平面で切断した立体
球台…球を二つの平行な平面で切断した立体

このページでは球と球冠と球台の体積 \(V\) と表面積(や側面積) \(S\) を求めます。(球冠や球台の切断面の面積は、切断面の円の半径が分かればすぐに求められますので、球冠と球台の \(S\) は側面積とします。)


<球>
球の半径を \(r\) とすると$$V=\frac{4}{3}πr^3 , S =4πr^2$$
<球冠>
球の半径を \(r\) ,球冠の高さを \(h\) ,切断面の半径を \(a\)
球の中心と切断面の円の中心を結ぶ線分と、球の中心と切断面の円周を結ぶ線分のなす角を \(θ\) とすると
\((1)\) \(r\) と \(h\) を用いたときは
$$V=\frac{πh^2}{3}(3r-h), S=2πrh$$\((2)\) \(a\) と\(h\) を用いたときは
$$V=\frac{πh}{6}(3a^2+h^2), S=π(a^2+h^2)$$\((3)\) \(r\) と \(θ\) を用いたときは$$V=\frac{πr^3}{3}(1- \cos θ)^2(2+\cos θ), S=2πr^2(1-\cos θ)$$

<球台>
球の半径を \(r\) ,球台の高さを \(h\) ,切断面の円の半径をそれぞれ \(r_1 ,r_2\) とすると$$V=\frac{πh}{6}(3r_1^2+3r_2^2+h^2), S=2πrh$$




<証明>

上の図のような円の関数を \(x\) 軸回りに回転させます。
\(x\) 軸回りに回転させたときの立体の体積と表面積は下の式で求められます。$$V=π\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2dx, S=2π\displaystyle\int_a^b y\sqrt{1+(y’)^2}dx$$まずは体積を求めます。
\begin{alignat}{2}
&V=π\displaystyle\int_{-r}^r (r^2-x^2)dx=2π\displaystyle\int_0^r (r^2-x^2)dx\\
&  =2π\left[r^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^r=2π\left(r^3-\frac{1}{3}r^3\right)=\frac{4}{3}πr^3
\end{alignat}表面積を求めます。
\(\displaystyle y’=\frac{1}{2}\frac{-2x}{\sqrt{r^2-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}},\)
\(yy’=-x, y^2+(yy’)^2=r^2-x^2+x^2=r^2\) ですので$$ S=2π\displaystyle\int_{-r}^r \sqrt{y^2+(yy’)^2}dx=4πr\displaystyle\int_0^rdx=4πr^2$$




次に球冠の体積と側面積を求めます。
下の図のように、
球の半径を \(OC=r\) ,球冠の高さを \(AD=h\) ,切断面の半径を \(DC=a\)
球の中心と切断面の円の中心を結ぶ線分と、球の中心と切断面の円周を結ぶ線分のなす角を \(\angle AOC=θ\) とします。
(球冠は下図の青い平面より上側の立体です。)

平面で捉えると下の図のようになります。
オレンジの部分を \(x\) 軸回りに回転させた立体が球冠です。

\((1)\) \(r\) と \(h\) を用いたとき
体積を求めます。
\begin{alignat}{2}
&V=π\displaystyle\int_{r-h}^r (r^2-x^2)dx=π\left[r^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{r-h}^r\\
&  =π\left\{r^3-\frac{1}{3}r^3-r^2(r-h)+\frac{1}{3}(r-h)^3\right\}\\
&  =π\left\{r^3-\frac{1}{3}r^3-r^3+r^2h+\frac{1}{3}(r-h)^3\right\}\\
&  =\frac{π}{3}\left\{(r-h)^3+3r^2h
-r^3\right\}\\
&  =\frac{π}{3}\{(r^3-3r^2h+3rh^2-h^3)+3r^2h-r^3\}\\
&  =\frac{πh^2}{3}(3r-h)
\end{alignat} 側面積を求めます。
\begin{alignat}{2}
&S=2π\displaystyle\int_{r-h}^{r} rdx=2πr[x]_{r-h}^r\\
&  =2πr\{(r-(r-h)\}=2πrh
\end{alignat}


\((2)\) \(a\) と\(h\) を用いたとき
\( \triangle OCD\) に三平方の定理を用いて
\begin{alignat}{2}
&r^2-a^2=(r-h)^2, r^2-a^2=r^2-2rh+h^2\\
&2rh=a^2+h^2, r=\frac{a^2+h^2}{2h}
\end{alignat} これを先ほどの式に代入します。
\begin{alignat}{2}
&V=\frac{πh^2}{3}(3r-h)=\frac{πh^2}{3}\left(\frac{3a^2+3h^2-h}{2h}\right)\\
&  =\frac{πh^2}{3} \cdot \frac{3a^2+3h^2-2h^2}{2h}=\frac{πh^2}{3} \cdot \frac{3a^2+h^2}{2h}=\frac{πh}{6}(3a^2+h^2)\\
&S=2πrh=2πh \cdot \frac{a^2+h^2}{2h}=π(a^2+h^2)
\end{alignat}


\((3)\)  \(r\) と \(θ\) を用いたとき
\(\displaystyle cosθ=\frac{r-h}{r}=1-\frac{h}{r}, \frac{h}{r}=1-cosθ\) となりますので
\begin{alignat}{2}
&V=\frac{πh^2}{3}(3r-h)=\frac{πr^3}{3}\cdot \frac{h^2}{r^2}\left(3-\frac{h}{r}\right)\\
&  =\frac{πr^3}{3}\left(\frac{h}{r}\right)^2\left\{2+\left(1-\frac{h}{r}\right)\right\}=\frac{πr^3}{3}(1-\cos θ)^2(2+ \cos θ)\\
&S=2πrh=2πr^2 \cdot \frac{h}{r}=2πr^2(1- \cos θ)
\end{alignat}




次に球台の体積と側面積を求めます。
下図のように球の半径を \(r\) ,球台の高さを \(h\) (ただし \(h=h_1+h_2\)) ,切断面の円の半径をそれぞれ \(r_1 ,r_2\) とします。
このとき球台の体積は、
青い平面の上側の球冠と緑の平面の下側の球冠の体積を、
全体から引けば求まります。
(上側の球冠の体積を\(V_1\),下側の球冠の体積を\(V_2\) とします。)

上側の球冠の高さは \(r-h_1\), 下側の球冠の高さは \(r-h_2\) ですから
\begin{alignat}{2}
&V_1=\frac{π}{3}(r-h_1)^2\{3r-(r-h)\}=\frac{π}{3}(r-h_1)^2(2r-h_1)\\
&  =\frac{π}{3}(r^2-2rh_1+h_1^2)(2r+h_1)\\
&  =\frac{π}{3}(2r^3-4rh_1^2+2rh_1^2+r^2h_1-2rh_1^2+h_1^3)\\
&  =\frac{π}{3}(2r^3-4rh_1^2+r^2h_1+h_1^3)
\end{alignat} 同様にして
$$V_2=\frac{π}{3}(2r^3-4rh_2^2+r^2h_2+h_2^3)$$\(V_1\) と \(V_2\) を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
&V_1+V_2=\frac{4}{3}πr^3+\frac{π}{3}\{r^2(h_1+h_2)-4r^2(h_1+h_2)+h_1^3+h_2^3\}\\
&      =\frac{4}{3}πr^3+\frac{π}{3}\{r^2h-4r^2h+(h_1+h_2)^3-3h_1h_2(h_1+h_2)\}\\
&      =\frac{4}{3}πr^3+\frac{π}{3}(-3r^2h+h^3-3h_1h_2h)\\
&      =\frac{4}{3}πr^3+\frac{πh}{3}(-3r^2+h^2-3h_1h_2)
\end{alignat} 全体から引きます。
\begin{alignat}{2}
&V=\frac{4}{3}πr^3-\left\{\frac{4}{3}πr^3+\frac{πh}{3}(-3r^2+h^2-3h_1h_2)\right\}\\
& =\frac{πh}{3}(3r^2-h^2+3h_1h_2)\\
& =\frac{πh}{6}(6r^2-2h^2+6h_1h_2)\\
\end{alignat} 三平方の定理より \(r^2=h_1^2+r_1^2=h_2^2+r_2^2\) ですから
\begin{alignat}{2}
&V=\frac{πh}{6}(3r^2+3r^2-3h^2+6h_1h_2+h^2)\\
& =\frac{πh}{6}\{3(h_1^2+r_1^2)+3(h_1^2+r_2^2)-3(h_1+h_2)^2+6h_1h_2+h^2\}\\
& =\frac{πh}{6}\{3h_1^2+3r_1^2+3h_1^2+3r_2^2-3(h_1^2+2h_1h_2+h_2^2)+6h_1h_2+h^2\} \\
& =\frac{πh}{6}(3r_1^2+3r_2^2+h^2)
\end{alignat}
側面積も同様に、全体の \(4πr^2\) から二つの球冠の側面積を引きます。
\begin{alignat}{2}
&S=4πr^2-\{2πr(r-h_1)+2πr(r-h_2)\}\\
& =4πr^2-(2πr^2-2πrh_1+2πr^2-2πrh_2)\\
& =2πrh_1+2πrh_2\\
& =2πr(h_1+h_2)=2πrh
\end{alignat}

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