級数展開[2]

\begin{alignat}{2}
&(15)  \coth x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  (0 \lt |x| \lt π)\\
&(16)  \cot x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  (0 \lt |x| \lt π)\\
&(17)  \tan x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right) \\
&(18)  \csc x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}   (0 \lt |x| \lt π) \\
&(19)  \tanh x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n(4^n-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right) \\
&(20)  \sin^{-1} x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}  (-1 \lt x \lt 1)\\
&(21)  \cos^{-1} x=\frac{π}{2}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}   (-1 \lt x \lt 1) \\
&(22)  \sinh^{-1} x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}  (-\infty \lt x \lt \infty) \\
&(23)  \mathrm{sech} \ x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}   \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right)\\
&(24)  \sec x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right) \\
&(25)  \mathrm{csch}\,x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  (-π \lt x \lt π)
\end{alignat}











<証明>

\((15)\) ベルヌーイ数の式において \(x^1\) の項だけを取り出せば、
あとは全て \(x\) の偶数乗の項となりますので、下記のように表します。$$\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n= \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}x^{2n}\right\}-\frac{1}{2}x$$ ここで \(x\) を \(2x\) に書き直します。$$ \frac{2x}{e^{2x}-1}=\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_{2n}}{(2n)!}(2x)^{2n}\right\}-\frac{1}{2}(2x)$$ 右辺の \((-x)\) を左辺に移項します。 $$ \frac{2x}{e^{2x}-1}+x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$$ 一方、左辺についてですが \(\displaystyle \frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}\) を計算すると
\begin{alignat}{2}
& \frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}=\frac{2x+x(e^x-1)}{2(e^x-1)}=\frac{2x+xe^x-x}{2(e^x-1)}\\
&=\frac{x+xe^x}{2(e^x-1)}=\frac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}=\frac{x}{2} \cdot \frac{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}=\frac{x}{2} \coth \frac{x}{2}
\end{alignat} となりますから、この \(x\) を \(2x\) に書き直すと$$ \frac{2x}{e^{2x}-1}+x=x \coth x$$ よって、先ほどの式は$$x \coth x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$$ となりますので、両辺を \(x\) で割れば次式を得ます。$$ \coth x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} $$





\((16)\) \((15)\) の結果を用いて \( \cot x=i \coth (ix)\) を計算します。$$\cot x=i\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}(ix)^{2n-1} =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}(i)^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}(-1)^n}{(2n)!}x^{2n-1}$$ よって、次式を得ます。$$ \cot x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$





\((17)\) \((16)\) で得た式を用いるために、次のように \( \tan x\) を変形します。$$ \tan x=\frac{1}{ \tan x}\cdot \tan^2 x= \cot x\{1-(1- \tan^2 x)\}$$ \( \tan\) の2倍角の公式より \(\displaystyle \tan 2x=\frac{2 \tan x}{1- \tan^2 x}, 1- \tan^2 x=\frac{2 \tan x}{ \tan 2x}\) ですので$$= \cot x\left(1-\frac{2 \tan x}{ \tan 2x}\right)= \cot x\left(1-\frac{2 \cot 2x}{ \cot x}\right)= \cot x-2 \cot 2x$$この式に \((16)\) での級数展開の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
& \tan x= \cot x-2 \cot 2x\\
&    =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}-2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}(2x)^{2n-1}\\
&    =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}4^n \cdot x^{2n-1}\\
\end{alignat}以上より$$ \tan x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} $$








\((18)\) \((16)\) で得た式を用いるために、次のように \(\csc x\) を変形します。$$  \csc x=\frac{(1+ \cos x)- \cos x}{ \sin x}=\frac{1+ \cos x}{ \sin x}- \cot x$$左の項は \( \sin x\) と \( \cos x\) をそれぞれ \(\displaystyle \tan^2 \frac{x}{2}\) で表すと次のようになります。$$\frac{1+ \cos x}{ \sin x}=\left(1+\frac{1- \tan^2 \frac{x}{2}}{1+ \tan^2 \frac{x}{2}}\right)\cdot \frac{1+ \tan^2 \frac{x}{2}}{2 \tan \frac{x}{2}}=\frac{1}{ \tan \frac{x}{2}}= \cot \frac{x}{2}$$この式に \((16)\) での級数展開の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
& \csc x= \cot \frac{x}{2}- \cot x\\
&    =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n4^nB_{2n}}{(2n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n-1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&    =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n2B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}
\end{alignat}以上より$$\csc x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$






\((19)\) \((15)\) で得た式を用いるために、次のように \( \tanh x\) を変形します。$$ \tanh x= \tanh^2 x \cdot \frac{1}{ \tanh x}=\{(1+ \tanh^2 x)-1\} \coth x$$ \( \tanh \) の2倍角の公式より \(\displaystyle \tanh 2x=\frac{2 \tanh x}{1+ \tanh^2 x}, 1+ \tanh^2 x=\frac{2 \tanh x}{ \tanh 2x}\) ですので$$=\left(\frac{ 2 \tanh x}{ \tanh 2x}-1\right) \coth x=\left(\frac{2 \coth 2x}{ \coth x}-1\right) \coth x=2 \coth 2x- \coth x$$この式に \((15)\) の級数展開の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
& \tanh x=2 \coth 2x- \coth x\\
&     =2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}(2x)^{2n-1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n \cdot 4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}
\end{alignat}$$ \tanh x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n(4^n-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} $$



\((20)\) \( \sin^{-1} x\) を微分します。$$( \sin^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$$これは下記に示す \((14)\) の式を用いることが出来ますので
$$(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2}x^n$$ \(x\) を \(-x^2\) とすると $$(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2}(-x^2)^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}x^{2n}$$ 両辺を積分して \( \sin^{-1} x\) に戻します。
\begin{alignat}{2}
& \sin^{-1} x= \displaystyle\int_0^x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}x^{2n}dx\\
&      =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \displaystyle\int_0^x x^{2n}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^x
\end{alignat}以上より$$ \sin^{-1} x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$







\((21)\) \(\displaystyle \sin^{-1} x+ \cos^{-1} x=\frac{π}{2}\) ですので、直ちに$$ \cos^{-1} x=\frac{π}{2}- \sin^{-1} x=\frac{π}{2}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$







\((22)\) \( \sinh^{-1} x\) を微分します。$$( \sinh^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$$これは下記に示す(14)の式を用いることが出来ますので
$$(1+x)^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2}x^n$$ \(x\) を \(x^2\) とすると $$(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2}(x^2)^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2}x^{2n}$$ 両辺を積分して \( \sinh^{-1}x\) に戻します。
\begin{alignat}{2}
& \sinh^{-1} x= \displaystyle\int_0^x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2}x^{2n}dx\\
&      =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2} \displaystyle\int_0^x x^{2n}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n(n!)^2} \left[\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^x
\end{alignat}以上より$$\sinh^{-1} x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n)!}{4^n (n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$$








\((23)\) \( \sec x\) の係数は「オイラー数 \(E_n\)」を用いて表されますので、
  この級数についてはこちらのページで証明しています。

また上記のページでは$$\mathrm{sech} \ x=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!}x^n$$としていますが \(\mathrm{sech} x\) は偶関数なので \(E_{2n-1}=0\) です。(\(n \in \mathbb{N}\)) よって$$\mathrm{sech} \ x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$$







\((24)\) 次の等式を用います。$$\mathrm{sec} \ x=\mathrm{sech} \ (ix)$$これと \((23)\) の級数より$$\mathrm{sec} \ x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!}(ix)^{2n}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n}$$








\((25)\) \((15)\) の式を用いるために、次のように \(\mathrm{csch}\,x\) を変形します。$$\mathrm{csch}\,x=\frac{(1+ \cosh x)- \cosh x}{ \sinh x}=\frac{1+ \cosh x}{ \sinh x}- \cot x$$左の項は \( \sinh x\) と \( \cosh x\) をそれぞれ \(\displaystyle \tan^2 \frac{x}{2}\) で表すと次のようになります。$$\frac{1+ \cosh x}{ \sinh x}=\left(1+\frac{1+ \tanh^2 \frac{x}{2}}{1- \tanh^2 \frac{x}{2}}\right)\cdot \frac{1- \tanh^2 \frac{x}{2}}{2 \tanh \frac{x}{2}}=\frac{1}{ \tanh \frac{x}{2}}= \coth \frac{x}{2}$$この式に \((15)\) での級数展開の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
& \mathrm{csch}\,x= \coth \frac{x}{2}- \coth x\\
&     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n-1}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&     =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}
\end{alignat}以上より$$\mathrm{csch}\,x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}$$

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