(log tanx)^{2n}[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^2dx=\frac{π^3}{8}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^4dx=\frac{5}{32}π^5\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n}dx=\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n+1}dx=0\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)






<証明>

\((3)(4)\) から証明します。

どちらも \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle\left(dx=\frac{1}{1+t^2}dt\right)\)





\((3)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt$$右側の積分について \(\displaystyle t=\frac{1}{s}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dt=-\frac{1}{t^2dt}\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_1^0 \frac{(-\log s)^{2n}}{1+\frac{1}{s^2}}\left(-\frac{1}{s^2}\right)ds=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log s)^{2n}}{1+s^2}ds$$となるので、元の積分計算に戻ります。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt+\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log s)^{2n}}{1+s^2}ds=2\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt$$この積分は次式となります。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}(\log \tan x)^{2n}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt=\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n}dx=\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|$$







\((4)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n+1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+t^2}dt+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+t^2}dt$$右側の積分について \(\displaystyle t=\frac{1}{s}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dt=-\frac{1}{t^2dt}\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+t^2}dt=\displaystyle\int_1^0 \frac{(-\log s)^{2n+1}}{1+\frac{1}{s^2}}\left(-\frac{1}{s^2}\right)ds=-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log s)^{2n+1}}{1+s^2}ds$$よって、元の積分計算は$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^{2n+1}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+t^2}dt-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log s)^{2n+1}}{1+s^2}ds=0$$







\((1)\) \((3)\) において \(n=1\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^2dx=\left(\frac{π}{2}\right)^3|E_2|=\frac{π^3}{8} \cdot |-1| =\frac{π^3}{8}$$





\((2)\) \((3)\) において \(n=2\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\log \tan x)^4dx=\left(\frac{π}{2}\right)^5|E_4|=\frac{π^5}{32} \cdot 5=\frac{5}{32}π^5$$

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