log(1-2acos2x+a^2)sin(2n-1)xsinx[0,π]などの定積分


\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\sin (2n-1)x \sin xdx=\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\cos (2n-1)x \cos xdx=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て\(|a| \lt 1,\,n \in \mathrm{N}\)









<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$\log (1-2p \cos x+p^2)=-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p^n \cos nx}{n}$$ただし \(0 \lt x \lt 2π, |p| \lt 1\)

また予め、次の定積分を計算しておきます。$$(B)  \displaystyle\int_0^π \cos nx \cos kx$$
\((α)\) \(n≠k\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \{\cos (n+k)x-\cos (n-k)x\}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n+k)x}{n+k}-\frac{\sin (n-k)x}{n-k}\right]_0^π=0\\
\end{alignat}
\((β)\) \(n=k\) のとき$$\displaystyle\int_0^π \cos^2 nxdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π (1+\cos 2nx)dx=\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2n}\sin 2nx\right]_0^π=\frac{π}{2}$$よって
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \cos nx \cos kx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  (n≠k)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  (n=k)\\
\end{cases}
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\sin (2n-1)x \sin xdx\\
&=-2\displaystyle\int_0^π \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k \cos 2kx}{k}\right)\sin (2n-1)x \sin xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos 2kx \{\sin (2n-1)x \sin x\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}\displaystyle\int_0^π \cos 2kx \{\cos 2nx -\cos (2n-2)x\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}\left\{\displaystyle\int_0^π \cos 2nx \cos 2kxdx-\displaystyle\int_0^π \cos (2n-2)x \cos 2kxdx\right\}\\
&=\frac{a^n}{n}\cdot \frac{π}{2}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\sin (2n-1)x \sin xdx=\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\cos (2n-1)x \cos xdx\\
&=-2\displaystyle\int_0^π \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k \cos 2kx}{k}\right)\cos (2n-1)x \cos xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos 2kx \{\cos (2n-1)x \cos x\}dx\\
&=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}\displaystyle\int_0^π \cos 2kx \{\cos 2nx +\cos (2n-2)x\}dx\\
&=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}\left\{\displaystyle\int_0^π \cos 2nx \cos 2kxdx+\displaystyle\int_0^π \cos (2n-2)x \cos 2kxdx\right\}\\
&=-\left(\frac{a^n}{n}\cdot \frac{π}{2}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\cdot \frac{π}{2}\right)=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos 2x+a^2)\cos (2n-1)x \cos xdx=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^n}{n}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)$$

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