log(1-2acosx+a^2)sinnxsinx[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx=\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{2π} \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx=π\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{2π} \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx=-π\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(|a| \lt 1,\,n \in \mathrm{N}\)









<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$\log (1-2p \cos x+p^2)=-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p^n \cos nx}{n}$$ただし \(0 \lt x \lt 2π, |p| \lt 1\)





また予め、次の定積分を計算しておきます。$$(B)  \displaystyle\int_0^π \cos nx \cos kxdx$$
\((α)\) \(n≠k\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \{\cos (n+k)x-\cos (n-k)x\}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n+k)x}{n+k}-\frac{\sin (n-k)x}{n-k}\right]_0^π=0\\
\end{alignat}
\((β)\) \(n=k\) のとき$$\displaystyle\int_0^π \cos^2 nxdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π (1+\cos 2nx)dx=\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2n}\sin 2nx\right]_0^π=\frac{π}{2}$$よって
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \cos nx \cos kxdx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  (n≠k)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  (n=k)\\
\end{cases}
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx\\
&=-2 \displaystyle\int_0^π \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k \cos kx}{k}\right)\sin nx \sin xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos kx (\sin nx \sin x)dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos kx \{\cos (n+1)x-\cos (n-1)x\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \left\{\displaystyle\int_0^π \cos (n+1)x \cos kxdx-\displaystyle\int_0^π \cos (n-1)x \cos kxdx\right\}\\
&=\frac{a^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{π}{2}-\frac{a^{n-1}}{n-1} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx=\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)$$








\((2)\) \(f(x)=\log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin x\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
f(π+x)&=\log (1+2a \cos x+a^2)\sin (nπ+nx) \sin (π+x)\\
&=(-1)^{n-1}\log (1+2a \cos x+a^2)\sin nx \sin x\\
&\\
f(π-x)&=\log (1+2a \cos x+a^2)\sin (nπ-nx) \sin (π-x)\\
&=(-1)^{n-1}\log (1+2a \cos x+a^2)\sin nx \sin x\\
\end{alignat}となり \(f(π+x)=f(π-x)\) が成り立つので

\(f(x)\) は \(x=π\) を軸として線対称となります。

以上より
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx\\
&=2\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\sin nx \sin xdx=π\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)
\end{alignat}








\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx\\
&=-2 \displaystyle\int_0^π \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k \cos kx}{k}\right)\cos nx \cos xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos kx (\cos nx \cos x)dx\\
&=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \displaystyle\int_0^π \cos kx \{\cos (n+1)x+\cos (n-1)x\}dx\\
&=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \left\{\displaystyle\int_0^π \cos (n+1)x \cos kxdx+\displaystyle\int_0^π \cos (n-1)x \cos kxdx\right\}\\
&=-\left(\frac{a^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{π}{2}+\frac{a^{n-1}}{n-1} \cdot \frac{π}{2}\right)=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx=-\frac{π}{2}\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)$$









\((4)\) \(f(x)=\log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos x\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
f(π+x)&=\log (1+2a \cos x+a^2)\cos (nπ+nx) \cos (π+x)\\
&=(-1)^{n-1}\log (1+2a \cos x+a^2)\cos nx \cos x\\
&\\
f(π-x)&=\log (1+2a \cos x+a^2)\cos (nπ-nx) \cos (π-x)\\
&=(-1)^{n-1}\log (1+2a \cos x+a^2)\cos nx \cos x\\
\end{alignat}となり \(f(π+x)=f(π-x)\) が成り立つので

\(f(x)\) は \(x=π\) を軸として線対称となります。

以上より
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx\\
&=2\displaystyle\int_0^π \log (1-2a \cos x+a^2)\cos nx \cos xdx=-π\left(\frac{a^{n+1}}{n+1}+\frac{a^{n-1}}{n-1}\right)
\end{alignat}

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