{√log(1/x)}1/(1+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{\log \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}\\
\end{alignat}







<証明>

どちらも \(\displaystyle \sqrt{\log \frac{1}{x}}=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\log \frac{1}{x}=t^2,  -\log x=t^2,  \log x=-t^2\\
&x=e^{-t^2},  dx=-2te^{-t^2}dt\\
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{\log \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 t \cdot \frac{1}{1+e^{-t^2}} \cdot (-2te^{-t^2})dt=2 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^2e^{-t^2}}{1+e^{-t^2}}dt\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} t^2e^{-t^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-2nt^2}dt\\
&=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} t^2e^{-(2n+1)t^2}dt\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} \displaystyle\int_0^{\infty} t\{e^{-(2n+1)t^2}\}’dt\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} \left\{\left[te^{-(2n+1)t^2}\right]_0^{\infty} – \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(2n+1)t^2}dt\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(2n+1)t^2}dt\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2n+1}}=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\log \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}$$








\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{1+e^{-t^2}} \cdot (-2te^{-t^2})dt=2 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-t^2}}{1+e^{-t^2}}dt\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-2nt^2}dt=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(2n+1)t^2}dt\\
&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2n+1}}=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}$$

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