{log(1/x)}^n(1+x^q)x^{p-1}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1+x^q)^mx^{p-1}dx=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k}{(p+kq)^{n+1}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1-x^q)^mx^{p-1}dx=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k(-1)^k}{(p+kq)^{n+1}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q \gt 0,n \in \mathrm{N}\)









<証明>

次の定積分を予め計算しておきます。$$\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n x^{p+kq-1}dx=\frac{n!}{(p+kq)^{n+1}}  \cdots (A)$$

次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 x^{p+kq-1}dx$$\(I(p)\) を \(n\) 回微分します。$$I^{(n)}(p)=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^n x^{p+kq-1}dx $$両辺に \((-1)^n\) を掛けます。$$\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n x^{p+kq-1}dx=(-1)^nI^{(n)}(p)$$となるので \((-1)^nI^{(n)}(p)\) を求めます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 x^{p+kq-1}dx=\frac{1}{p+kq}$$\(I(p)\) を \(n\) 回微分します。$$I^{(n)}(p)=\frac{(-1)^n\cdot n!}{(p+kq)^{n+1}}$$よって$$\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n x^{p+kq-1}dx=(-1)^nI^{(n)}(p)=\frac{n!}{(p+kq)^{n+1}}$$





\((1)(2)\) はどちらも途中 \((A)\) の式を代入します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1+x^q)^mx^{p-1}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n \left(\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k x^{kq}\right)x^{p-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n x^{p+kq-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k \cdot \frac{n!}{(p+kq)^{n+1}}=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k}{(p+kq)^{n+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1+x^q)^mx^{p-1}dx=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k}{(p+kq)^{n+1}}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1-x^q)^mx^{p-1}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n \left\{\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k (-x^q)^k\right\}x^{p-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k(-1)^k \displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n x^{p+kq-1}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k (-1)^k\cdot \frac{n!}{(p+kq)^{n+1}}=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k(-1)^k}{(p+kq)^{n+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\log \frac{1}{x}\right)^n (1-x^q)^mx^{p-1}dx=n!\displaystyle\sum_{k=0}^m \frac{{}_m \mathrm{C}_k(-1)^k}{(p+kq)^{n+1}}$$

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