log(1+2acos2x+a^2)sin^{2}x[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\sin^2 xdx=
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{πa}{4}     (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{π}{2}\left(\log |a|-\frac{1}{2a}\right)  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\cos^2 xdx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa}{4}     (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{π}{2}\left(\log |a|+\frac{1}{2a}\right)  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}
\end{alignat}








<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p^n \cos nx}{n}=-\frac{1}{2}\log (1-2p \cos x+p^2)$$ただし \(0 \lt x \lt 2π, |p| \lt 1\)

この式について \(p \to -a\)、\(x \to 2x\) と書き換えると$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n \cos 2nx}{n}=-\frac{1}{2}\log (1+2a \cos 2x+a^2)$$両辺を \(-2\) 倍します。$$(B)  \log (1+2a \cos 2x+a^2)=-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n \cos 2nx}{n}  (|a| \lt 1)$$さらに \(\displaystyle a \to \frac{1}{a} \) とすると \(\displaystyle \left|\frac{1}{a}\right| \lt 1\) ,すなわち \(|a| \gt 1\) であり、

等式は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
\log \left(1+\frac{2}{a} \cos 2x+\frac{1}{a^2}\right)&=-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n(-a)^n}\\
\log(a^2+2a \cos 2x+1)-\log a^2&=-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n(-a)^n}\\
\end{alignat}よって$$(C)  \log (1+2a \cos 2x+a^2)=2 \log |a|-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2nx}{n(-a)^n}  (|a|\gt 1)$$







また予め、次の定積分を計算しておきます。$$(D)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nxdx=\left[\frac{1}{2n} \sin 2nx\right]_0^{\frac{π}{2}}=0 $$

$$(E)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2kx$$
\((α)\) \(n≠k\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\cos (2n+2k)x+\cos (2n-2k)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (2n+2k)x}{2n+2k}+\frac{\sin (2n-2k)x}{2n-2k}\right]_0^{\frac{π}{2}}=0\\
\end{alignat}
\((β)\) \(n=k\) のとき
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 {2nx}dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(1+\cos 4nx)dx\\
&=\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{4n}\sin 4nx\right]_0^{\frac{π}{2}}=\frac{π}{4}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
(E)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2kx=
\begin{cases}
0  (n≠k)\\
\displaystyle \frac{π}{4}  (n=k)\\
\end{cases}
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\sin^2 xdx  (|a| \lt 1)\\
&=-2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n \cos 2nx}{n}\right\}\sin^2 xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \sin^2 xdx\\
&=- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx (1-\cos 2x)dx\\
&=- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\left(\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2xdx\right)\\
&=-a \cdot \frac{π}{4}=-\frac{πa}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\sin^2 xdx=-\frac{πa}{4}  (|a| \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\sin^2 xdx  (|a| \gt 1)\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left\{\log |a|-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n(-a)^n}\right\}\sin^2 xdx\\
&=2\left\{\log |a| \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sin^2 xdx-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \sin^2 xdx\right\}\\
&=2 \log |a|\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx (1-\cos 2x)dx\\
&=\frac{π}{2}\log |a|- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}
\left(\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2xdx\right)\\
&=\frac{π}{2}\log |a|-\frac{1}{a} \cdot \frac{π}{4}=\frac{π}{2}\left(\log |a|-\frac{1}{2a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\sin^2 xdx=\frac{π}{2}\left(\log |a|-\frac{1}{2a}\right)  (|a| \gt 1)$$









\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\cos^2 xdx  (|a| \lt 1)\\
&=-2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n \cos 2nx}{n}\right\}\cos^2 xdx\\
&=-2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos^2 xdx\\
&=- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx (1+\cos 2x)dx\\
&=- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n}
\left(\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2xdx\right)\\
&=a \cdot \frac{π}{4}=\frac{πa}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\cos^2 xdx=\frac{πa}{4}  (|a| \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\cos^2 xdx  (|a| \gt 1)\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left\{\log |a|-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n(-a)^n}\right\}\cos^2 xdx\\
&=2\left\{\log |a| \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\cos^2 xdx-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos^2 xdx\right\}\\
&=2 \log |a|\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx (1+\cos 2x)dx\\
&=\frac{π}{2}\log |a|- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(-a)^n}
\left(\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2xdx\right)\\
&=\frac{π}{2}\log |a|+\frac{1}{a} \cdot \frac{π}{4}=\frac{π}{2}\left(\log |a|+\frac{1}{2a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+2a \cos 2x+a^2)\cos^2 xdx=\frac{π}{2}\left(\log |a|+\frac{1}{2a}\right)  (|a| \gt 1)$$

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