log(1+asin^{2}x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^π \log (1+a \sin^2 x)dx=2π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \cos^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^π \log (1+a \cos^2 x)dx=2π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt -1\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A) \displaystyle\int_0^π \log (a-b \cos x)dx=π\log \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}  (a \gt b \gt 0)$$






\((1)\)  三角関数の次数を下げます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log \left(1+a \cdot \frac{1-\cos 2x}{2}\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log \frac{2+a-a \cos 2x}{2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (a+2-a \cos 2x)dx-\frac{π}{2}\log 2\\
\end{alignat}\(2x=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^π \log (a+2-a \cos t) \cdot \frac{1}{2}dt-\frac{π}{2}\log 2\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \log (a+2-a \cos t) dt-\frac{π}{2}\log 2\\
\end{alignat}\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{π}{2}\log \frac{a+2+\sqrt{(a+2)^2-a^2}}{2}-\frac{π}{2}\log 2\\
&=\frac{π}{2}\log \frac{a+2+\sqrt{4a+4}}{4}=\frac{π}{2}\log \frac{a+1+2\sqrt{a+1}+1}{4}\\
&=\frac{π}{2}\log \left(\frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\right)^2=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}$$





\((2)\) 被積分関数は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称であるので$$\displaystyle\int_0^π \log (1+a \sin^2 x)dx=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 x)dx=2π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}$$





\((3)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \cos^2 x)dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \log (1+a \sin^2 x)(-dt)\\&
=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \sin^2 t)dt=π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}\\
\end{alignat}






\((4)\) 被積分関数は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称であるので$$\displaystyle\int_0^π \log (1+a \cos^2 x)dx=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (1+a \cos^2 x)dx=2π\log \frac{1+\sqrt{1+a}}{2}$$

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